Существуют ли Π 1-высказывания, которые робот должен полагать неопровержимыми следствиями из гипотезы Mи которые при этом не являются самыми обыкновенными ☆-утверждениями, вовсе не требующими привлечения этой гипотезы? Разумеется, существуют. Как было отмечено в конце §3.14, истинность Π 1-высказывания G( Q( M)) следует из обоснованности формальной системы Q( M), отсюда же следует и тот факт, что утверждение G( Q( M)) не является теоремой системы Q( M). Более того, в этом робот будет совершенно безоговорочно убежден. Если допустить, что робот вполне согласен с тем, что все его неопровержимые убеждения укладывались бы в рамки системы Q( M), будьон действительно сконструирован в соответствии с набором механизмов M, — т.е. что возможность (b) [25]он из рассмотрения исключает, — то получается, что наш робот и в самом деле должен твердо верить в то, что обоснованность системы Q( M) является следствием гипотезы M. Таким образом, робот оказывается безоговорочно убежден как в том, что Π 1-высказывание G( Q( M)) следует из гипотезы M, так и в том, что (согласно M) он не способен непосредственно постичь его неопровержимую истинность без привлечения M (поскольку формальной системе Q( M) оно не принадлежит). Соответственно, утверждение G( Q( M)) является ☆ M -утверждением, но не ☆-утверждением.
Предположим, что формальная система Q M ( M) построена в точности так же, как и система Q( M), с той лишь разницей, что роль, которую при построении системы Q( M) исполняли ☆-утверждения, сейчас берут на себя ☆ M -утверждения. Иначе говоря, теоремами системы Q M ( M) являются либо (I) сами ☆ M -утверждения, либо (II) положения, выводимые из этих ☆ M -утверждений с применением правил элементарной логики (см. §3.13). Точно так же, как робот на основании гипотезы Mсогласен с тем, что формальная система Q( M) охватывает все его неопровержимые убеждения относительно истинности III -высказываний, он будет согласен и с тем, что формальная система Q M ( M) охватывает все его неопровержимые убеждения относительно истинности Π 1-высказываний, обусловленных гипотезой M.
Далее предложим роботу рассмотреть гёделевское Π 1-высказывание G( Q M ( M)). Робот, несомненно, проникнется неопровержимым убеждением в том, что это Π 1-высказывание является следствием из обоснованности системы Q M ( M). Он также вполне безоговорочно поверит в то, что обоснованность системы Q M ( M) является следствием гипотезы M, поскольку он согласен с тем, что система Q M ( M) действительно содержит в себе все, в чем робот неопровержимо убежден в отношении своей способности выводить Π 1-высказывания, основываясь на гипотезе M. (Он будет рассуждать следующим образом: «Если я принимаю гипотезу M, то я тем самым принимаю и все Π 1-высказывания, которые порождают систему Q M ( M). Таким образом, я должен согласиться с тем, что система Q M ( M) является обоснованной на основании гипотезы M. Следовательно, на основании все той же гипотезы, я должен признать и то, что утверждение G( Q M ( M)) истинно».)
Однако, поверив (безоговорочно) в то, что гёделевское Π 1-высказывание G( Q M ( M)) является следствием гипотезы M, робот вынужден будет поверить и в то, что утверждение G( Q M ( M)) является теоремой формальной системы Q M ( M). А в это он сможет поверить только в том случае, если он полагает систему Q M ( M) необоснованной, — что решительно противоречит принятию им гипотезы M.
В некоторых из вышеприведенных рассуждений неявно допускалось, что неопровержимая убежденность робота является действительнообоснованной, — хотя необходимо лишь, чтобы сам робот просто верил в обоснованность своей системы убеждений. Впрочем, мы изначально предполагаем, что наш робот обладает математическим пониманием, по крайней мере, на человеческом уровне, а человеческое математическое понимание, как было показано в §3.4, принципиально является обоснованным.
Возможно, кто-то усмотрит в формулировке допущения M, равно как и в определении ☆ M -утверждения, некоторую неоднозначность. Смею вас уверить, что подобное утверждение, будучи Π 1-высказыванием, представляет собой в высшей степени определенное математическое утверждение. Можно предположить, что большинство ☆ M -утверждений робота окажутся в действительности самыми обыкновенными ☆-утверждениями, поскольку маловероятно, что робот при каких угодно обстоятельствах сочтет целесообразным прибегать в своих рассуждениях к самой гипотезе M. Исключением может стать утверждение G( Q( M)), о котором говорилось выше, так как в данном случае формальная система Q( M) выступает, с точки зрения робота, в роли гёделевской гипотетической «машины для доказательства теорем» (см. §§3.1и 3.3). Вооружившись гипотезой M, робот получает доступ к своей собственной «машине для доказательства теорем», и, хотя он не может быть (да и, скорее всего, не будет) безоговорочно убежден в обоснованности своей «машины», робот способен предположить, что она может оказаться обоснованной, и попытаться вывести следствия уже из этого предположения.
На этом этапе робот еще не добирается до парадокса — так же, как не добрался до него и Гёдель в своих рассуждениях о человеческом интеллекте (см. цитату в §3.1). Однако, поскольку роботу доступен для исследования набор гипотетических механизмов M, а не просто отдельная формальная система Q( M), он может повторить свое рассуждение и перейти от системы Q( M) к системе Q M ( M), обоснованность которой он по-прежнему полагает простым следствием из гипотезы M. Именно это и приводит его в конечном итоге к противоречию (чего мы, собственно, и добивались). (См. также §3.24, где мы продолжим рассмотрение системы Q M ( M) и ее кажущейся связи с «парадоксальными рассуждениями».)
Вывод: ни одно обладающее сознанием и имеющее понятие о математике существо — иначе говоря, ни одно существо со способностью к подлинному математическому пониманию — не может функционировать в соответствии с каким бы то ни было набором постижимых им механизмов, вне зависимости от того, знаетли оно в действительности о том, что именно эти механизмы, предположительно, направляют его на его пути к неопровержимой математической истине. (Вспомним и о том, что «неопровержимой математической истиной» это существо полагает всего лишь то, что оно способно установить математическими методами, — т.е. с помощью «математического доказательства», причем совсем необязательно «формального».)
