Подробный анализ этих двух случаев позволяет сделать вывод: всякий раз, когда прямая, соответствующая иррациональному числу а, пересекает криволинейный треугольник первого вида (при А1 < B1 см. рисунок выше), разность между а и p2/q2 будет строго меньше, чем 1/(√5·q22). Всякий раз, когда прямая, соответствующая иррациональному числу а, пересекает криволинейный треугольник второго вида (при A1 > B1 см. следующий рисунок), разность между а и р3/q3 будет строго меньше, чем 1/(√5·q23). В любом случае пересечения прямой, соответствующей иррациональному числу а, и сторон криволинейных треугольников определят бесконечное множество дробей p/q таких, что |а — р/q| < 1/(√5·q2). Иными словами, последовательность криволинейных треугольников, порожденных окружностями Форда, есть геометрическое представление теоремы Гурвица.
Хулита, или диофантово уравнение p2 + q2 + r2 = 3pqr
В нашей истории есть и третий персонаж — диофантово уравнение р2 + q2 + r2 = 3·р·q·r, — которого я сравнил с Хулитой, еще одной героиней романа «Улей».
Диофантово уравнение — это всего лишь алгебраическое уравнение, как правило, от нескольких переменных, однако нас интересуют лишь те его решения, которые являются целыми числами (или рациональными, что в некоторых случаях одно и то же). Эти уравнения получили свое название в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского. О нем мы знаем немного больше того, что сказано в его эпитафии: «Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей»[7]. Решив эту задачу, получим, что Диофант прожил 84 года. Предположительно, он жил в II–III веках.
Нам известно, что Диофант был автором нескольких трудов, важнейший из них — «Арифметика». Из тринадцати книг «Арифметики» сохранилось шесть книг на древнегреческом и еще четыре — в переводе на арабский.
Обложка «Арифметики» Диофанта, изданной в 1621 году с комментариями французского математика Баше де Меризиака.
* * *
ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ
Задача, описанная на этой странице, приводится во второй книге «Арифметики» под номером 15. Диофант нашел ее решение следующим образом. Он обозначил через р и q квадраты двух последовательных чисел, так как ему было известно, что их произведение, увеличенное на их сумму, также является квадратом. В самом деле, если р = m2, q = (m + 1)2, то:
p·q + p + q = m2·(m + 1)2 + m2 + (m + 1)2 = m4 + 2·m3 + 4·m2 + 2·m + 1 = (m2 + m + 1)2.
В частности, Диофант использовал р = 4 и q = 9. Таким образом, p·q + p + q обязательно будет квадратом: 4·9 + 4 + 9 = 72. Две остальные величины будут таковы: 4·n + 4 + n = 5·n + 4 и 9·n + 9 + n = 10·n + 9. Таким образом, нужно найти число n такое, что и 10·n + 9, и 5·n + 4 будут квадратами. Далее Диофант ввел еще две вспомогательные переменные, r и k, определяемые уравнениями r2 = 10·n + 9 и k2 = 5·n + 4. Имеем
r2 — k2 = 10·n + 9–5·n — 4 = 5·n + 5,
что можно записать как (r + k)·(r — k) = 5·(n + 1). Таким образом, r + k = 5 и r — k = n + 1. Выразив r и k из этих равенств, получим: r = (n/2) + 3 и k = 2 — (n/2). Подставив значение r в уравнение r2 = 10·n + 9 и упростив полученное выражение, получим уравнение второй степени (n2/4) = 7·n = 0. Его решением будет n = 28.
* * *
Приведем пример уравнений, которые рассматривает Диофант в своей «Арифметике»: «Найти три таких числа, что произведение любых двух из них, увеличенное на их сумму, будет квадратом». Если мы обозначим искомые числа через р, q и n, тo p·q + p + q, p·n + p = n и q·n + q + n должны быть квадратами. Диофант привел решение р = 4, q = 9 и n = 28. В самом деле, р·q + q = 49 = 72, р·n + р + n = 289 = 172, q·n + q + n = 144 = 122 (см. врезку). Такие уравнения были известны древним грекам задолго до Диофанта. Первое из них, несомненно, выглядело так: найти натуральные числа m и n такие, что m2 = 2·n2. Как вы уже знаете, Пифагор доказал, что это уравнение не имеет решений: если бы они существовали, то √2 было бы рациональным числом.
Другое диофантово уравнение, также изученное до Диофанта, имело отношение к теореме Пифагора: требовалось найти все натуральные числа р, q, r, которые были бы решениями уравнения р2 + q2 = r2. Согласно теореме Пифагора, точнее обратной ей теореме, такие числа р, q, r являются сторонами прямоугольного треугольника. Тройки чисел, удовлетворяющих этому уравнению, стали называться пифагоровыми тройками. В книге X «Начал» Евклида приведено общее решение этой задачи: для произвольных натуральных чисел m, n и k
p = k·(m2 — n2), q = 2·k·m·n и r = k·(m2 + n2)
образуют пифагорову тройку, и все пифагоровы тройки имеют подобный вид. Например, приняв m = 3, n = 1 и k = 4, имеем р = 32, q = 24 и r = 40, которые действительно удовлетворяют равенству р2 + q2 = r2.
Среди уравнений, рассмотренных Диофантом в «Арифметике», было уравнение, описывающее пифагоровы тройки. Диофант также решил уравнение р2 + q2 = r2, добавив к нему множество дополнительных условий. Например, он решил задачу о нахождении сторон прямоугольного треугольника, периметр которого является кубом, а сумма площади и гипотенузы — квадратом. Диофант нашел следующее решение этой задачи: длина гипотенузы r равнялась 629/50, длины катетов р и q — 2 и 621/50. Периметр треугольника равнялся 2 + 621/50 + 629/50 = 1350/50 = 27 = 33, сумма площади и гипотенузы — (621/50)·2/2 + 629/50 = 1250/50 = 25 = 52 (см. врезку на предыдущей странице).
* * *
ЕЩЕ ОДНО ДИ0ФАНТ0В0 УРАВНЕНИЕ
Последняя задача, описанная на этой странице, приведена в «Арифметике» Диофанта в книге VI под номером 17. Диофант нашел ее решение следующим образом. Он ввел новую переменную n — площадь треугольника. Тогда (р·q)/2 = n, то есть р·q = 2·n. Далее Диофант принял р = 2 и q = n. Сумма площади и длины гипотенузы треугольника равняется n + r, периметр треугольника — 2 + n + r. Так как число n + r должно быть квадратом, нужно найти такой квадрат, который при увеличении на 2 был бы кубом. Тогда Диофант обозначил длину стороны квадрата через m + 1, длину стороны куба — через m — 1. Теперь нужно найти число m такое, что (m + 1)2 + 2 = (m -1)3. Иными словами, m2 + 2·m + 3 = m3 — 3·m2 + 3·m — 1, или, что аналогично, 4·m2 + 4 = m3 + m. Отсюда следует, что 4·(m2 + 1) = m·(m2 + 1), следовательно, m = 4. Таким образом, имеем n + r = 52 = 25. Так как треугольник со сторонами р, q и r должен быть прямоугольным, имеем: 4 + n2 = r2. Подставив в это уравнение n = 25 — r, получим 4 + (25 — r)2 = r2. Раскрыв скобки и упростив полученное выражение, имеем: 629 — 50·r = 0. Иными словами, r равно 629/50, следовательно, n и q равны 621/50.
Заметьте, что Диофант решил в целых числах кубическое уравнение х2 + 2 = у3 — его корнями являются х = 5, у = 3. Это уравнение имеет единственное решение в целых числах (именно его нашел Диофант) и бесконечно много дробных решений.
