* * *

В 1621 году, спустя почти полтора тысячелетия после того, как Диофант написал свою «Арифметику», шесть сохранившихся книг этого труда были отпечатаны на языке оригинала и в переводе на латынь. Автором этого издания с комментариями стал француз Баше де Меризиак.

«Арифметика» Диофанта — одна из немногих книг, вошедших в историю благодаря одному из своих читателей. Речь о французском адвокате Пьере Ферма. Ферма также был математиком-любителем, однако его «любительские» заслуги намного выше профессиональных достижений многих математиков.

В XVII веке теория чисел еще не была частью роскошного района математики. После удивительного расцвета, достигнутого во времена Диофанта, интерес математиков к теории чисел ослабевал на протяжении полутора тысяч лет, и тут на сцену вышел Ферма и вернул теории чисел прежнюю славу, применив самый действенный способ, какой только известен математикам: он сформулировал несколько интересных задач. Достаточно прочесть его примечания и комментарии на полях «Арифметики» Диофанта. Самуэль Ферма, сын математика, составил сборник этих примечаний и комментариев, дополнил ими издание Баше де Меризиака и опубликовал этот вариант «Арифметики» Диофанта в 1670 году.

Обложка «Арифметики» Диофанта с комментариями Пьера Ферма, изданной его сыном в 1670 году.

В этой книге редко встретишь задачу, предложенную Диофантом или комментарий де Меризиака, для которых Ферма не сформулировал бы дополнение, обобщение или интересную задачу по той же теме. Известнейшую из них Ферма записал на полях книги II рядом с задачей 8: «Представить данный квадрат в виде суммы двух квадратов». Иными словами, в этой задаче Диофант объяснял свой алгоритм нахождения пифагоровых троек: р² + q² = r².

Ферма слегка изменил это уравнение и рассмотрел решения в целых числах для уравнения р³ + q³ = r³. Удивительно, но ему не удалось найти ни одного решения за исключением так называемых тривиальных, то есть 0, 1 и —1. Увидев, что уравнение не имеет решений, Ферма задался вопросом: что будет, если показатель степени будет равен не 3, а 4? Каковы целочисленные решения уравнения р⁴ + q⁴ = r⁴? Для этого уравнения ему также не удалось найти решений. «А что, если этих решений просто нет?» — должно быть, спросил себя Ферма после многочисленных неудачных попыток. Тогда он подошел к проблеме с другой стороны и попытался доказать, что уравнение с показателем степени, равным 4, не имеет целочисленных решений. Применив собственный оригинальный метод, Ферма нашел искомое доказательство. Также возможно, что, немного изменив свой метод, он смог доказать, что уравнение третьей степени также не имеет решений. Но достоверно это неизвестно, ведь Ферма не был профессиональным математиком и не затруднял себя публикацией полученных им результатов, не говоря уже об описании использованных методов и приемов. О том, как он размышлял, известно немного, и часто даже это немногое — лишь плод догадок.

Воодушевленный полученными результатами, Ферма, вероятно, счел, что сможет доказать отсутствие решений (за исключением тривиальных) уравнения рⁿ + qⁿ = rⁿ для любого n > 2. Как же он поступил? Он записал на полях «Арифметики» Диофанта такие слова: «Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Благодаря этому простому комментарию юрист Ферма вошел в историю: целый легион математиков, словно обезумев, принялся за поиски «чудесного доказательства» Ферма.

Однако теорема Ферма оказалась весьма крепким орешком — за два последующих столетия ее удалось доказать лишь для нескольких п: простых n = 3 (Эйлер, 1770), n = 5 (Лежандр и Дирихле, 1825) и n = 7 (Ламе, 1839), а также для составных n = 6, 10 и 14. Полное доказательство теоремы Ферма привел английский математик Эндрю Уайлс лишь в 1994 году. Оно занимает несколько сотен страниц, и в нем используются сложнейшие математические понятия и методы XX столетия.

Уравнение Маркова

Диофантово уравнение, которое мы рассмотрим ниже, названо в честь русского математика Андрея Андреевича Маркова (1856–1922). Оно записывается так:

p² + q² + r² = 3·p·q·r.

Натуральные числа, которые являются решениями этого уравнения (точнее, натуральные числа р, для которых существуют q и r такие, что р, q, r удовлетворяют уравнению), упорядоченные по возрастанию, называются числами Маркова. О них известно немало, но далеко не все. Так, известно, что чисел Маркова бесконечно много и что первые 16 членов ряда таковы:

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, 1597 и 2897.

Существует простой метод, позволяющий получить новые числа Маркова на основе уже известных. Нетрудно показать, что если p₁, q₁ и r₁ удовлетворяют уравнению Маркова и мы запишем р₂ = 3·q₁·r₁ — р₁, q₂ = 3·p₁·r₁ — q₁, и r₂ = 3·p₁·q₁ — r₁, то тройка p₂, q₁ и r₁ также будет удовлетворять уравнению Маркова. Это же будет справедливо для троек р₁, р₂ и r₁, а также p₁, q₁, r₂.

Марков доказал, что все целые положительные решения уравнения Маркова можно получить с помощью этого простого метода, приняв в качестве начальных значений p₁ = 1, q₁ = 1 и r₁ = 1.

Живительно, что уравнение Маркова имеет великое множество решений. Но если его немного изменить, оно не будет иметь ни одного решения: к примеру, уравнение р² + q²  + r² = 2·р·q·r не имеет целых положительных решений. В действительности, как доказал Гурвиц, ни одно уравнение вида р² + q²  + r² = k·р·q·r не имеет целых положительных решений, за исключением случаев, когда k равно 3 (имеем уравнение Маркова), 1 или 0.

Решения уравнения Маркова р, q и r при р = 1 образуют первую связь с теоремой Гурвица о рациональном приближении. В самом деле, эти решения имеют вид р = 1, q = f_2n-1 и r = f_2n+1, где f_k  — соответствующее число Фибоначчи. Первыми двумя числами Фибоначчи являются f₁ = 1 и f₂ = 1, каждое последующее число Фибоначчи определяется как сумма двух предыдущих. Имеем: f₃ = 1 + 1 = 2, f₄ = 3, f₅ = 5, f₆ = 8, f₇ = 13, f₈ = 21, f₉ = 34 и так далее. Числа Фибоначчи встречаются в природе столь же часто, что и золотое сечение, с которым они тесно связаны: если рассмотреть отношение двух последовательных чисел Фибоначчи, f_n+1/f_n, то полученные дроби 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8…, будут всё больше и больше приближаться к золотому числу. Приближение вновь будет описываться теоремой Гурвица: