Она изучала новейшие математические труды мировых учёных, не обходила даже диссертаций молодых учеников своего преподавателя. Здоровье её надорвалось, а из-за непрактичности подруг им жилось очень плохо. Готовясь переделать скверно устроенный мир, они ничего не предпринимали, чтобы иметь хотя бы сносный обед.

Ковалевская написала первую самостоятельную работу — «О приведении некоторого класса абелевых интегралов третьего ранга к интегралам эллиптическим». Знаменитый французский математик, физик и астроном Лаплас в своём труде «Небесная механика», рассматривая кольцо Сатурна как совокупность нескольких тонких, не влияющих одно на другое жидких колец, определил, что поперечное его сечение имеет форму эллипса. Но это было лишь первое, очень упрощённое решение. Ковалевская задалась целью исследовать вопрос о равновесии кольца с большей точностью. Она установила, что поперечное сечение кольца Сатурна должно иметь форму овала.

Вскорости Софья задумала сделать ещё одно исследование из области дифференциальных уравнений. Оно касалось труднейшей области чистого математического анализа, имеющего в то же время серьёзное значение для механики и физики.

Зиму 1873 и весну 1874 года Ковалевская посвятила исследованию «К теории дифференциальных уравнений в частных производных». Она хотела представить его как докторскую диссертацию. Работа Ковалевской вызвала восхищение учёных. Правда, позднее, установили, что аналогичное сочинение, но более частного характера, ещё раньше Ковалевской написал знаменитый учёный Франции Огюстен Коши.

В своей диссертации она придала теореме совершенную по точности, строгости и простоте форму. Задачу стали называть «теорема Коши — Ковалевской», и она вошла во все основные курсы анализа. Большой интерес представлял приведённый в ней разбор простейшего уравнения (уравнения теплопроводности), в котором Софья Васильевна обнаружила существование особых случаев, сделав тем самым значительное для своего времени открытие. Недолгие годы её ученичества кончились.

Совет Гёттингенского университета присудил Ковалевской степень доктора философии по математике и магистра изящных искусств «с наивысшей похвалой».

В 1874 году Ковалевская вернулась в Россию, но здесь условия для занятий наукой были значительно хуже, чем в Европе. К этому времени фиктивный брак Софьи «стал настоящим». Сначала в Германии они с мужем даже жили в разных городах и учились в разных университетах, обмениваясь лишь письмами. «Дорогой мой брат», «Хороший брат», «Славный» — так она обращалась к Владимиру. Но потом начались другие отношения.

Осенью 1878 года у Ковалевских родилась дочь. Почти полгода провела Ковалевская в постели. Врачи теряли надежду на её спасение. Правда, молодой организм победил, но сердце Софьи было поражено тяжёлой болезнью.

Есть муж, есть ребёнок, есть любимое занятие — наука. Вроде бы полный набор для счастья, но Софья была максималисткой во всём и требовала от жизни и от окружающих слишком многого. Ей хотелось, чтобы муж постоянно клялся ей в любви, оказывал знаки внимания, а Владимир Ковалевский этого не делал. Он был просто другим человеком, увлечённым наукой не меньше своей жены.

Ревность была одним из самых сильных недостатков порывистой натуры Ковалевской. Полный крах их отношений наступил тогда, когда супруги занялись не своим делом — коммерцией, чтобы обеспечить себе материальное благополучие.

«Мой долг — служить науке», — сказала себе Ковалевская. Не было оснований рассчитывать, что в России позволят ей сделать это. После убийства Александра II кончилась пора либеральных заигрываний и начались разнузданная реакция, казни, аресты и ссылки. Ковалевские спешно оставили Москву. Софья Васильевна с дочкой уехала в Берлин, а Владимир Онуфриевич отправился к брату в Одессу. Ничто их больше не связывало.

В комнате, где работала Ковалевская, теперь была ещё и маленькая Соня — Фуфа, как она её называла. Нужно было проявить большую смелость, чтобы именно теперь приняться за задачу, решению которой посвящали себя крупнейшие учёные: определить движение различных точек вращающегося твёрдого тела — гироскопа.

Владимир Онуфриевич окончательно запутался в своих финансовых делах и в ночь с 15 на 16 апреля 1883 года покончил с собой. Ковалевская была в Париже (её избрали членом Парижского математического общества), когда узнала о самоубийстве мужа.

В начале июля Софья Васильевна вернулась в Берлин. Она ещё была слаба после потрясения, но внутренне вполне собрана. Вейерштрасс встретил её очень сердечно, просил поселиться у него «как третью сестру».

Узнав о смерти Ковалевского, который возражал против планов жены сделать математику делом всей жизни, Вейерштрасс написал своему коллеге Миттаг-Леффлеру, что «теперь, после смерти мужа, более не существует серьёзных препятствий к выполнению плана его ученицы — принять должность профессора в Стокгольме», и смог порадовать Софью благоприятным ответом из Швеции.

30 января 1884 года Ковалевская прочитала первую лекцию в Стокгольмском университете, по завершению которой профессора устремились к ней, шумно благодаря и поздравляя с блестящим началом.

Курс, прочитанный Ковалевской на немецком языке, носил частный характер, но он составил ей отличную репутацию. Поздно вечером 24 июня 1884 года Ковалевская узнала, что «назначена профессором сроком на пять лет».

Софья Васильевна всё больше углублялась в исследование одной из труднейших задач о вращении твёрдого тела. «Новый математический труд, — как-то сообщила она Янковской, — живо интересует меня теперь, и я не хотела бы умереть, не открыв того, что ищу. Если мне удастся разрешить проблему, которою я занимаюсь, то имя моё будет занесено среди имён самых выдающихся математиков. По моему расчёту, мне нужно ещё пять лет для того, чтобы достигнуть хороших результатов».

Весной 1886 года Ковалевская получила известие о тяжёлой болезни сестры Анюты. Она съездила в Россию и с тяжёлым чувством возвратилась в Стокгольм. Ничто не могло вернуть к прежней работе. Ковалевская нашла способ говорить о себе, своих чувствах и мыслях и пользовалась им с увлечением. Вместе с писательницей Анной-Шарлоттой Эдгрен-Леффлер она начинает писать. Захваченная литературной работой, Ковалевская была уже не в состоянии заниматься задачей о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки.

У Ковалевской было много друзей, в основном в писательских кругах, но в личной жизни она оставалась одинокой. Идеальные отношения Софья представляла себе таким образом: совместная увлекательная работа плюс любовь. Однако такая гармония была труднодостижима. Ковалевская бесконечно мучилась от сознания, что её работа стоит стеной между ней и тем человеком, которому должно принадлежать её сердце. Честолюбие мешало ей быть просто любящей женщиной.

В 1888 году «Принцесса науки», так называли Ковалевскую в Стокгольме, всё-таки встречает человека, с которым пытается построить отношения, подобные тем, о которых мечтала. Этим человеком оказывается видный юрист и социолог Максим Ковалевский, её однофамилец. Судьба словно нарочно устроила подобное совпадение.

Дружба двух учёных вскоре перешла в нечто напоминающее любовь. Они собирались пожениться, но из-за повышенных требований Софьи их отношения настолько запутались, что чувство, не успев набрать высоту, потерпело полное крушение.

Наконец, Ковалевская возвращается к задаче о вращении тяжёлого твёрдого тела вокруг неподвижной точки, которая сводится к интегрированию некоторой системы уравнений, всегда имеющей три определённых алгебраических интеграла. В тех случаях, когда удаётся найти четвёртый интеграл, задача решается полностью. До открытия Софьи Ковалевской четвёртый интеграл был найден дважды — знаменитыми исследователями Эйлером и Лагранжем.

Ковалевская нашла новый — третий случай, а к нему — четвёртый алгебраический интеграл. Полное решение имело очень сложный вид. Только совершенное знание гиперэллиптических функций позволило ей так успешно справиться с задачей. И до сих пор четыре алгебраических интеграла существуют лишь в трёх классических случаях: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.