Для описания изменений, вызванных возможным обогащением языка новыми выражениями, Айдукевич вводит различение языков открытых и замкнутых, а также связных и несвязных. Рассмотрим два языка J1 и J2. Предположим, что каждому простому или составному выражению языка J1 соответствует эквиморфное (или одинаково звучащее) выражение языка J2, но не наоборот, и кроме того, эквиморфные выражения взаимно переводимы. Язык J1 является открытым языком относительно языка J2, если существуют выражения A1 и B2, принадлежащие языку J2, а также выражение B1, принадлежащее J1, такое, что выражение B1 есть перевод A1, выражение A1 непосредственно связано по значению с выражением A2, а A2 не переводимо в J1. Название «открытый язык» выражает тот факт, что некоторый язык J1 можно дополнить до языка J2 посредством добавления нового выражения. Из определения открытого языка следует, что в расширенном языке J2 выражения языка J1 сохраняют свои старые значения. Язык, не являющийся открытым, Айдукевич называет замкнутым. В определенном смысле замкнутый язык является семантически насыщенным.
Пусть J1 – замкнутый язык и J2 – язык, возникший вследствие присоединения к J1 нового выражения B. Тогда в объединении областей определения значений J2 содержатся все выражения из J1, а также выражение B, которое находится или не находится в непосредственной связи значений с прежними выражениями. Если B находится в непосредственной связи, то прежние выражения уже не могут иметь те же значения, что в языке J1, поскольку это противоречило бы предположению, будто J1 является замкнутым языком, либо B непереводимо в одно из прежних выражений. Из этого следует, что прежние выражения могут иметь в новом языке J2 те же значения, какие они имели в языке J1 только тогда, когда B переводимо в одно из прежних выражений, или тогда, когда B не находится в непосредственной связи значений ни с одним из прежних выражений, а тогда B не остается с этим выражением и в опосредованной связи значений. Поскольку B непосредственно не связано ни с одним из прежних выражений, то выражение B не находится ни в какой связи значений с выражениями языка J1. Это означает, что в языке J2 существует непустой, изолированный по значению класс выражений. Язык, содержащий такую изолированную часть называется несвязным языком. Таким образом, язык J является несвязным тогда и только тогда, когда существует такой класс K выражений этого языка, что каждый элемент этого класса K не находится в какой-либо связи значений с выражениями языка J вне класса K. Язык, не являющийся несвязным языком, называется языком связанным. Тогда термин «семантически насыщенный язык» означает, что замкнутый язык после его обогащения становится несвязным, поскольку прежние его выражения сохраняют свои значения, а новые не переводимы ни в одно из выражений прежних.
Пусть теперь язык J будет открытым. Если добавить к J новые выражения B, то прежние выражения сохраняют свои значения, а язык J+B не обязательно становится несвязным. В этом случае объединение областей определения директив (правил) языка J является подобластью области определения директив значений языка J+B. Таким образом, если область определения директив значений некоторого языка J изменяется вследствие добавления новых выражений B, то присущее языку J подчинение значений меняется так, что новое подчинение значений выражениям языка учитывает добавленные выражения B. Изменение значений языка J невозможно в трех случаях, когда:
а) новый язык несвязан;
б) введенное выражение имеет перевод на одно из прежних выражений языка;
в) язык J открыт относительно языка J+B. (Открытость языка является свойством относительным, т.е. J открыт относительно некоего отличного от J языка.)
Пусть даны два языка J1 и J2. Дополнением J1 до J2 называется процедура добавления к J1 новых выражений до тех пор, пока области определения директив значений J1 и J2 не совпадут; обратная процедура является открытием J2 относительно J1. Если J2 является замкнутым языком, то дополнение J1 до J2 является окончательным замыканием. Допустим, что J1 является открытым языком, а J2 и J3 – языками связанными и окончательно замкнутыми J1. Если J2 и J3 возникли из J1 так, что J2=J1+B1, а J3=J1+B2 и B1, B2 взаимно переводимы, то очевидно J2 и J3 также взаимно переводимы. Айдукевич задается вопросом: всегда ли два связанных языка, являющиеся окончательно замкнутыми относительно некоторого открытого языка, взаимно переводимы? Ответ на этот вопрос Айдукевич предваряет рассмотрением условий равнозначности или синонимичности двух выражений одного и того же языка J. Необходимым условием синонимичности двух выражений является сохранение области определения директив значений, т.е. область не должна изменяться в результате подстановки B1 вместо B2, и наоборот. Понятие равнозначности применимо также к выражениям из разных языков, например, J1 и J2. Так как выражение B в языке J1 имеет то же значение, что и выражение C в языке J2, то B является переводом C в J1, и наоборот; отношение перевода рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пусть C будет переводом B (из J1) на язык J2, и пусть B находится в некоторой связи значений с другими выражениями из J1. Если эти связи являются непосредственными связями значений, то если B остается в непосредственной связи значений (в J1) с выражениями B1,..., Bn, то C остается в аналогичных связях значений (в J2) с выражениями C1,..., Cn, причем выражения B1,..., Bn и C1,..., Cn взаимно переводимы. Последнее замечание необходимо, поскольку могут рассматриваться и открытые языки. Для замкнутых языков описанная зависимость может быть выражена следующим образом: если C является переводом B, то все элементы объединения областей определения директив языка J2, содержащие выражение C, можно получить из элементов объединения областей определения директив языка J1, содержащих выражение B, следующим образом: выражение B везде заменяется выражением C, а оставшиеся элементы директив значений языка J1 заменяются их переводами в языке J2.
Перевод Айдукевич понимает весьма ригористично, т.е. как перевод совершенный или дословный. Два языка он называет взаимно переводимыми тогда и только тогда, когда каждому выражению одного языка соответствует одно или несколько выражений другого языка, которые являются его переводами с одного языка на другой, и vice versa.
Основное утверждение Айдукевича, относящееся к языкам связанным и замкнутым, таково: если языки J1 и J2 связаны и замкнуты, и если в языке J2 существует выражение C, являющееся переводом выражения B языка J1 на язык J2, то оба языка взаимно переводимы. Условие перевода уже в том состоит, что одно из выражений языка J1 имеет свой перевод в язык J2. Из этого следует, что открытый язык не может быть окончательно замкнут в результате дополнения до двух связанных и взаимно непереводимых языков.
Объединение областей определения директив языка J можно определенным образом упорядочить, образуя соответствующие суммы (объединения) директив: аксиоматическую, дедуктивную и эмпирическую. Три перечисленные суммы директив значений образуют т.н. матрицу языков. Понятие матрицы Айдукевич использует для формулирования дефиниций перевода и значения выражений. Вот эти дефиниции:
Языки J1 и J2 взаимно переводимы согласно отношения R тогда и только тогда, когда R является взаимно однозначным отношением, которое каждому выражению из J1 ставит в соответствие некоторое выражение из J2, и наоборот таким образом, что матрица языка J1 (J2) переходит в матрицу языка J2 (J1), если заменить в ней все выражения выражениями, соответствующими им посредством отношения R.
Выражение A в языке J1 обладает тем же самым значением, что и выражение B в языке J2 тогда и только тогда, когда A принадлежит J1, B принадлежит J2 и существует отношение R, с учетом которого оба языка взаимно переводимы, а выражение A находится в отношении R к B.
Легко видеть, что приведенные дефиниции однозначно применимы только к языкам связанным и замкнутым. Именно такие языки Айдукевич считает языками в точном значении этого слова, т.е. собственно языками. Открытые же языки являются в сущности смешением собственно языков, примером которых Айдукевич считает язык этнический.
