33

11

12

11

22

22

33

44

11

11

11

11

11

33

Из того факта, что существуют две опосредующие истину и ложь оценки (2 и 3) не следует делать вывод, что в системе модальной логики Лукасевича существуют два понятия возможности. Тем не менее в L-системе имеют место т.н. возможности-близнецы M и M1. Они неразличимы, когда выступают отдельно, но разнятся, когда входят в одну формулу, например, формулы MMp и M1M1p эквивалентны, а формулы M1Mp и MM1p неэквивалентны. Этот факт в системе модальной логики Лукасевича не имеет интуитивной интерпретации. Четырехзначная матрица вообще изменила взгляд Лукасевича на значение многозначных логик: если раньше он считал, что выбор следует делать между трехзначной логикой или бесконечнозначной, то теперь он признал четырехзначную систему адекватной для выражения понятия возможности.

Некоторые неясные вопросы Лукасевич пытается выяснить путем сравнения с другими модальными системами, в частности, с системой фон Вригта, а не более известными системами Льюиса, поскольку они основываются на т.н. «строгой импликации», которая более сильна, нежели «материальная импликация», используемая Лукасевичем. Он подвергает сомнению т.н. правило необходимости: если x является формулой системы, то Lx – также формула. Лукасевич считает, что предложение является непосредственно ложным или истинным и не видит причины, по которой тавтология должна быть «более истинной», чем «обычное» истинное предложение, а контрадикторное предложение «более ложно», чем «обычная» ложь. В этой позиции чувствуется влияние Твардовского, подкрепленное взглядами Лесьневского. Лукасевич спрашивает: «Почему мы должны вводить необходимость и невозможность в логику, если не существуют истинные аподиктические предложения? На этот упрек я отвечаю, что прежде всего мы интересуемся проблематическими предложениями вида Mx и MNx, которые могут быть истинны и используемы, хотя их аргументы и отбрасываются, а вводя проблематические предложения мы не можем обойти их отрицания, т.е. аподиктических предложений ибо предложения, обоих видов неразрывно между собой связаны».(S.295) Важной для понимания Лукасевичем понятия возможности является формула CKMpMqMKpq, не имеющая места в системе Льюиса. Лукасевич рассматривает следующий пример:

Пусть n будет целым положительным числом. Я утверждаю, что следующая импликация истинна для всех значений n: Если возможно, что n четно, и возможно, что n нечетно, то возможно, что n четно и n нечетно". Если n=4, то истинно, что n может быть четно, но не может быть истинной, что n может не быть четным; если n есть 5, то истинно, что n может быть нечетным, но не является истинной то, что n может быть четным. Обе посылки никогда не являются одновременно истинными и пример не может быть опровергнут.

Эти рассуждения показывают, что Лукасевич понимал возможность экстенсионально, тогда как в системах Льюиса функторы L и M интенсиональны.

Так решение Аристотелевой проблемы в контексте борьбы с фатализмом привело Я. Лукасевича к созданию нового, оригинального направления в логике, которое впоследствии получило бурное развитие279.

Тарский поставил цель определить предикат «истинный», используя в определениях только ясно приемлемые термины и избегая других недоопределенных семантических терминов.

Рассмотрим аргументацию Тарского280. Его задача – построить "удовлетворительное определение истины, т.е. такое, которое было бы материально адекватным и формально корректным"281. При этом, по его мнению, понятие истины всегда следует связывать с конкретным языком, поскольку о предложениях мы говорим только как о предложениях конкретного языка (в отличие от понятия «пропозиции»). Предложение, истинное в одном языке, будучи переведено на другой язык, может оказаться ложным или даже бессмысленным в этом языке. Предикат «истинно», считает Тарский, выражает свойство (или обозначает класс) определенных выражений, а именно декларативных предложений (а не пропозиций). Однако все дававшиеся раньше формулировки, направленные на то, чтобы объяснить значение этого слова, указывали не только на сами предложения, но также и на объекты, «о которых» эти предложения, или, возможно, на положения дел, описываемые ими. Более того, получается, что самый простой способ достичь точного определения истины – тот, который использует другие семантические понятия. Поэтому Тарский и причисляет понятие истины к семантическим понятиям, а проблема определения истины, по его мнению, демонстрирует свою близкую связь с более общей проблемой установления оснований теоретической семантики.

Тарский предлагает называть свою концепцию истины семантической, поскольку она имеет дело с определенными отношениями между выражениями языка и объектами или положениями дел, на которые эти выражения указывают. Таким образом, он разделяет репрезентационную картину языка. Среди множества концепций истинности Тарский выбирает для себя ту, на которой, как он считает, лучше всего основать собственное исследование этой темы. Он обращается к позиции, которую называет классической аристотелевой: «Сказать о том, что есть, что его нет, или о том, чего нет, что оно есть, ложно, тогда как сказать о том, что есть, что оно есть, или о том, чего нет, что его нет, истинно». Адаптируя аристотелево определение к современной ему философской терминологии, Тарский перефразирует его следующим образом: «Истина предложения состоит в его согласии (или соответствии) с реальностью»282. Теории истины, прямо основывающиеся на этом тезисе (корреспондентные теории истины), Тарский, однако, не считает достаточно ясными и точными; они, по его мнению, могут приводить к различным неправильным толкованиям. Очевидно, что он не считает корреспондентную теорию истины неправильной – наоборот, он признает ее исходной для своей концепции, по-видимому, в том смысле, что в корреспонденции, как он считает, и заключено единственное содержание понятия «истина».

При каких условиях предложение «снег бел» истинно или ложно? Кажется очевидным, что, если мы будем исходить из классической корреспондентной концепции истины, то мы скажем, что предложение истинно, если снег бел, и что оно ложно, если снег не бел. Таким образом, полагает Тарский, определение истины, соответствующее корреспондентной ее трактовке, должно имплицировать эквивалентность следующего вида: «Предложение „снег бел“ истинно тогда и только тогда, когда снег бел». Обобщение процедуры определения истины на основании существующих критериев (например, корреспондентных) таково. Возьмем любое предложение и обозначим его буквой "р". Образуя имя этого предложения, мы заменяем его буквой "Х" – это еще одно кавычечное выражение в обобщающем определении. Согласно корреспондентной концепции истины, избранной Тарским в качестве исходной, логическое отношение между двумя предложениями – "Х истинно" и "р" – есть отношение эквивалентности следующего вида:

(Т) Х истинно ттт р.

Это позволяет Тарскому

придать точную форму условиям, при которых мы будем считать употребление и определение термина «истинный» адекватным с материальной точки зрения: мы хотим употреблять термин «истинный» таким образом, чтобы можно было утверждать все эквивалентности формы (Т), и мы назовем определение истины «адекватным», если все такие эквивалентности следуют из него283.

Для Тарского метаязык является расширением объектного языка (например, Х истинно только и если только р, где "Х" – термин, обозначающий любое предложение объектного языка, и "р" является предложением объектного языка). Для определения предиката «истинный» нужно также определить вспомогательные понятия «выполняет» (satisfies) и «обозначает». Проще всего использовать само упомянутое выражение объектного языка (например "O" обозначает, что O, и [u, v] выполняет "x больше, чем y" только и если только u больше, чем v).