, ,

где

б , , ,

, , , .

Если рассматривают преобразования Лоренца для случая, когда оси координат непараллельны, то матрица о преобразования компонент спинора может быть любой комплексной матрицей второго порядка, определитель которой равен единице, — унимодулярной матрицей.

  Наряду с введёнными выше контравариантными компонентами x¹, x² спинора, можно ввести ковариантные компоненты x₁, x₂ положив

, где  (как всегда, по повторяющимся индексам производится суммирование). Иными словами, x² = x₁, x¹ = -x₂. Ковариантные компоненты преобразуются матрицей . При вращениях эта матрица совпадает с матрицей s, т. е. при вращениях ковариантные компоненты спинора преобразуются как компоненты комплексно сопряжённого спинора.

  Спинорная алгебра строится аналогично обычной тензорной алгебре (см. Тензорное исчисление). Спинором валентности r (или спинтензором) называется совокупность 2^r комплексных чисел

, определённых с точностью до знака, которая при переходе от одной системы координат к другой преобразуется как произведение r компонент спиноров первой валентности, т. е. как . Аналогично определяются комплексно сопряжённый спинор валентности r, смешанный спинор, спинор с ковариантными компонентами и т. д. Сложение спиноров и умножение спинора на скаляр определяются покоординатно. Произведением двух спиноров называется спинор, компонентами которого являются попарные произведения компонент сомножителей. Например, из спиноров второй и третьей валентности и  можно образовать спинор пятой валентности  . Свёрткой спинора  по индексам l₁ и l₂ называется спинор

.

  В спинорной алгебре часто используются тождества

,

.

  В квантовой механике важную роль играет исследование систем линейных дифференциальных уравнений, связывающих величины спинорного типа, которые остаются инвариантными при унимодулярных преобразованиях, т. к. только такие системы уравнений релятивистски инвариантны. Наиболее важны приложения спинорного анализа к теории уравнений Максвелла и Дирака. Запись этих уравнений в спинорной форме позволяет сразу установить их релятивистскую инвариантность, установить характер преобразования входящих в них величин. Спинорная алгебра находит также приложения к квантовой теории химической валентности. Теория спиноров в пространствах высшего числа измерений связана с представлениями групп вращений многомерных пространств. С. и. связано также с некоторыми вопросами неевклидовой геометрии.

  Лит.: Румер Ю. Б., Спинорный анализ, М. — Л., 1936; Картан Э., Теория спиноров, пер. с франц., М., 1947; Ландау Л., Лифшиц Е., Квантовая механика, ч. 1, М. — Л., 1948 (Теоретическая физика, т. 5, ч. 1 ); Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; его же, Теория спиноров, «Успехи математических наук», 1955, т. 10, в. 2(64).

Спинороги

Спиноро'ги (Balistidae), семейство рыб отряда сростночелюстных. Тело высокое, с боков уплощённое, длиной до 60 см. Чешуи крупные, костные, налегающие. Первая колючка переднего спинного плавника мощная, «запирается» в вертикальном положении с помощью второй колючки. Обе колючки брюшных плавников сливаются в единый шип. Мощными зубами, как кусачками, С. отламывают веточки кораллов, дробят раковины моллюсков, панцири морских ежей и крабов. Среди С. имеются и растительноядные виды. 11 родов, включающих около 30 видов. Широко распространены в тропических и субтропических морях. Обычно держатся поодиночке; очень медлительны. Серый С. (Balistes capriscus) распространён в Средиземном море, в восточной части Атлантики и в прибрежных водах её западной части; в водах СССР — в Чёрном море. Мясо С. ядовито.

  Лит.: Световидов А. Н., Рыбы Черного моря, М. — Л., 1964; Никольский Г. В., Частная ихтиология, 3 изд., М., 1971.

Серый спинорог.

Спин-спиновое взаимодействие

Спин-спи'новое взаимоде'йствие, взаимодействие между спиновыми магнитными моментами микрочастиц (см. Спин). Это взаимодействие является релятивистским эффектом (оно содержит множитель 1/с², где с — скорость света). Вследствие этого С.-с. в. мало по сравнению с электрическим взаимодействием частиц, обменным взаимодействием, взаимодействием спинового магнитного момента с внешним полем и т. д. Тем не менее оно приводит к ряду важных эффектов в атомах, молекулах и твёрдых телах.

  Взаимодействие спиновых магнитных моментов электронов и ядра даёт вклад в энергию атома, которая вследствие этого зависит от взаимной ориентации суммарного спина электронов и спина ядра. Это приводит к сверхтонкому расщеплению уровней энергии атомов и линий атомных спектров (см. Сверхтонкая структура). С.-с. в. электронов также даёт добавку к энергии атома. Однако оно не приводит к дополнительному расщеплению уровней энергии и обычно мало по сравнению со спин-орбитальным взаимодействием, определяющим в основном тонкую структуру атомных спектров (см. Мультиплетность). В молекулах же мультиплетную структуру спектров в ряде случаев определяет именно С.-с. в. электронов (S-уровни; см. Молекулярные спектры).

  В ферромагнетиках магнитное упорядочение обусловлено обменным взаимодействием атомных носителей магнитного момента. Менее существенно их магнитное взаимодействие, но оно наряду с действием электрического поля кристаллической решётки приводит к зависимости энергии кристалла от направления его намагниченности (к магнитной анизотропии). Хотя энергия магнитной анизотропии мала по сравнению с обменной энергией, она сказывается в существовании оси лёгкого намагничивания в ферромагнетике и явления магнитострикции. С.-с. в. в ферромагнитном кристалле является также одним из механизмов релаксации, приводящим к конечной ширине резонансной линии в эффекте ферромагнитного резонанса (см. Релаксация магнитная).