Я должен согласиться с Платоном, что арифметика и чистая математика вообще не выводятся из восприятия; чистая математика состоит из тавтологий, аналогичных предложению «люди суть люди», но обычно более сложных. Для того чтобы узнать, что математическое предложение правильно, мы не должны изучать мир, но лишь значения символов; и эти символы, когда мы обходимся без определений (цель которых состоит лишь в сокращении), окажутся такими словами, как «или», «нет», «все», «несколько», которые, подобно «Сократу», в действительном мире ничего не обозначают. Математическое уравнение утверждает, что две группы символов имеют то же самое значение; и до тех пор пока мы ограничиваемся чистой математикой, это значение должно быть таким, которое можно понять, не зная ничего о том, что может быть воспринято. Математическая истина поэтому, как утверждает Платон, независима от восприятия; но это истина совершенно особого рода, и она имеет дело только с символами.
Предложения перечисления, такие как «у меня есть десять пальцев», относятся к совершенно иной категории и, очевидно, во всяком случае частично, зависят от восприятия. Ясно, что понятие «палец» абстрагировано от восприятия; но как обстоит дело с понятием «десять»? Может показаться, что здесь мы подошли к истинной универсалии, или платоновской идее. Мы не можем сказать, что «десять» абстрагировано от восприятия, потому что любой психический объект восприятия, который можно рассматривать как десять какого-то рода вещи, можно равным образом рассматривать совершенно иначе. Предположим, я даю название «пальцевый» всем пальцам одной руки, взятым вместе; тогда я могу сказать: «Я имею два пальцевых», — и это описывает тот же самый факт восприятия, какой я раньше описал при помощи числа десять. Таким образом, в утверждении «у меня есть десять пальцев» восприятие играет меньшую роль, а понятие — большую роль, чем в таком утверждении, как «это есть красное». Вопрос, однако, лишь в степени.
Полный ответ в отношении предложений, в которых встречается слово «десять», состоит в том, что, когда эти предложения правильно проанализированы, оказывается, что они не содержат составной части, соответствующей слову «десять». Объяснить это в случае с таким большим числом, как десять, было бы сложным делом, поэтому возьмём предложение «я имею две руки». Это означает:
«Имеются такое а и такое b, что а и b не тождественны, и каким бы ни был х, предложение „х является моей рукой“ истинно тогда и только тогда, когда х есть а или х есть b».
Здесь слово «два» не встречается. Правда, встречаются две буквы, а и b, но нам нет надобности знать, что их две, так же как нам нет надобности знать, что они чёрные, или белые, или какого бы то ни было другого цвета.
Таким образом, числа являются, в определённом точном смысле, формальными. Факты, которые проверяют различные предложения, утверждающие, что разные совокупности, имеющие каждое по два числа, имеют общим не составную часть, но форму. Этим они отличаются от предложений о статуе Свободы, о Луне или о Джордже Вашингтоне. Такие предложения относятся к отдельной части пространства-времени; это то, что имеется общего между всеми утверждениями, которые можно высказать относительно статуи Свободы. Но нет ничего общего между такими предложениями, как, например, «имеется два таких-то», за исключением общей формы. Отношение символа «два» к значению предложения, в котором он встречается, значительно более сложное, чем отношение символа «красный» к значению предложения, в котором он встречается. Мы можем сказать, что в определённом смысле символ «два» ничего не означает, потому что когда он встречается в истинном утверждении, там не имеется соответствующей составной части в значении этого утверждения. Мы можем продолжать, если нам нравится, говорить, что числа являются вечными, неизменными и т. д., но мы должны добавить, что они являются логическими фикциями.
Имеется другой вопрос. Относительно звука и цвета Платон говорит, что «оба — два, а которое-либо — одно». Мы рассмотрели два; теперь мы должны рассмотреть одно. Существует ошибка, аналогичная ошибке относительно существования. Предикат «одно» применим не к вещам, но лишь к единичным классам. Мы можем сказать: «Земля имеет один спутник», — но синтаксической ошибкой будет сказать: «Луна есть одно». Ибо что может означать такое утверждение? Вы можете точно так же сказать: «Луна есть многое», — поскольку она имеет много частей. Сказать: «Земля имеет один спутник» — значит дать свойство понятия «спутник Земли», а именно следующее свойство:
«Имеется такое с, что предложение „х есть спутник Земли“ истинно тогда и только тогда, когда х есть с».
Это астрономическая истина; но если «спутник Земли» вы заменяете «Луной» или каким-либо другим собственным именем, в результате получится или бессмыслица, или просто тавтология. «Одно» поэтому является свойством определённых концепций, точно так же как «десять» есть свойство концепции «мой палец». Но доказывать, что «Земля имеет один спутник — Луну, поэтому Луна одна» так же плохо, как доказывать, что «апостолов было двенадцать, Пётр был апостолом, поэтому Пётр был двенадцать», что было бы действительным, если бы слово «двенадцать» мы заменили бы словом «белый».
Эти соображения показывают, что, в то время как имеется формальный род знания, а именно логика и математика, который не выводится из восприятия, аргументы Платона относительно всякого другого знания ложны. Это, конечно, не доказывает, что его вывод ложен; это доказывает лишь, что он не дал действительного основания, чтобы предположить истинность его вывода.
2. Теперь я перехожу к положению Протагора о том, что человек есть мера всех вещей, или, как его истолковывают, что каждый человек есть мера всех вещей. Здесь существенно решить, на каком уровне следует вести обсуждение. Очевидно, что прежде всего мы должны проводить различие между психическими объектами восприятия и выводами. Что касается первых, то каждый человек неизбежно ограничен своими собственными психическими объектами восприятия; то, что он знает о психических объектах восприятия других людей, он знает посредством вывода из своих собственных во время разговора и чтения. Психические объекты восприятия видящих сны и сумасшедших как таковые — почти такие же, как у других людей; единственное возражение против этого состоит в том, что, поскольку их контекст необычен, они способны повлечь за собой ложные выводы.
Но как обстоит дело с выводами? Являются ли они равным образом личными и частными? В известном смысле мы должны допустить, что это так. В то, во что я верю, я должен верить в силу некоторого возникающего у меня основания. Правда, моё основание может быть утверждением какого-нибудь ещё другого человека, но это может быть вполне адекватное основание, например, в том случае, когда я являюсь судьёй, слушающим свидетельские показания. И каким бы я ни был приверженцем Протагора, разумно принять мнение какого-либо эксперта относительно ряда лиц, как более предпочтительное по сравнению с моим собственным, поскольку я могу повторно прийти к выводу, что если сначала я не соглашаюсь с ним, то немного более внимательное рассмотрение дела показывает мне, что он был прав. В этом смысле я могу допустить, что другой человек более мудр, чем я. Позиция Протагора, правильно истолкованная, заключается не в том взгляде, что я никогда не совершаю ошибок, но лишь в том, что свидетельства моих ошибок должны быть представлены мне. Моё прежнее «я» можно оценивать точно так же, как можно оценивать другого человека. Но всё это предполагает, что в отношении выводов, в противоположность психическим объектам восприятия, имеется какое-то безличное мерило правильности. Если какой-либо вывод, который мне случилось сделать, является таким же хорошим, как всякий другой, тогда действительно последует интеллектуальная анархия, которую Платон выводит из взглядов Протагора. Поэтому в отношении этого важного вопроса Платон, по-видимому, прав. Но эмпирик сказал бы, что восприятия являются проверкой правильности вывода из эмпирического материала.
