2. Астроном Джордж Гамов, живший в XX в., упоминает эти замечания Джерома Кардана в своей книге «Один, два, три… бесконечность» (С. 42).

3. Дополнительную информацию о символизме чисел можно найти в книге Марии Луизы фон Франц «Числа и время» (Numbers and Time, Ch. 4-7).

4. Никакая аксиоматическая математическая система не является достаточно мощной, чтобы доказать собственную непротиворечивость. Для такого доказательства требуются дополнительные аксиомы извне системы. См. статью Курта Гёделя «О формально неразрешимых утверждениях» (K. Goedel «On formally undecidable propositions»), С. 711-715: Сб. От Фреге до Гёделя, хрестоматия по математической логике 1879 – 1931 гг. (From Frege to Goedel, a Source Book in Mathematical Logic, edited by Jean van Heijenoort). Простое обсуждение работы Гёделя можно найти в книге Фрэнка Дж. Суитца «От пяти пальцев до бесконечности: путешествие по истории математики» (Frank J. Swetz. From Five Fingers to Infinity: A Journey through the History of Mathematics).

5. Дальнейшее обсуждение можно найти в книге Карла Б. Бойера «История математики» (Carl. B. Boyer, A History of Mathematics), С. 611 и следующие.

6. Физик Дэвид Дарлинг приводит это утверждение о Галилее, которое вначале меня потрясло, в книге «Дзен физики» (David Darling. Zen Physics, Р. 123). Я был поражен потому, что процессуально-ориентированная психология, развитием которой я с увлечением занимался на протяжении многих лет, основывается на первичных и вторичных процессах, то есть процессах, с которыми отождествляемся и разотождествляемся. Для понимания людей необходимы и те, и другие.

7. Альберт Эйнштейн, «Смысл относительности», С. 1.

8. Все числа являются комплексными числами, и потому комплексные числа находятся на вершине иерархии. Комплексные числа представляют собой сумму действительных и мнимых чисел. Мнимые числа – это действительные числа, умноженные на V-1. А действительные числа бывают рациональными или иррациональными.

Продолжая наше путешествие, мы увидели, что математика комплексных чисел может помочь нам обдумывать то, как сознание входит в процесс наблюдения. Кроме того, математика может помогать нам наблюдать, как наше осознание влияет на субатомный мир и на все окружающее. Математика подобна тайному коду для взаимодействий между наблюдателем и наблюдаемым, и изучение того, как расшифровывать тайну, – это волнующее приключение. В нем мы будем находить не только повседневную реальность, но и принцип осознанного сновидения, то есть сохранения осознания в сновидениях.

Помните идею комплексного поля? Это своего рода карта. Подобно тому, как, зная местоположение своего дома, вы можете найти его на карте к востоку, западу, северу или югу от центра вашего города, комплексные числа могут находиться на поле комплексных чисел, одна ось которого является действительной, а другая – мнимой. Например, на рис. 7.2 в главе 7 комплексное число 2 + 3i находится на расстоянии двух единиц вправо по оси действительных чисел и трех единиц вверх по оси мнимых чисел.

В общем, любое комплексное число a + ib может быть представлено на поле комплексных чисел.

Рис. 8.1. Число a + ib на комплексной плоскости Теперь давайте пойдем дальше. Я хочу показать, как точка a + ib может отражаться на этой карте, то есть на комплексной плоскости. Представьте себе, что комплексная плоскость – это комната, на которую мы смотрим сверху. При взгляде сверху действительная ось выглядит как линия, соответствующая зеркальной стене.

Когда вы смотрите на себя сверху, кажется, что ваше отражение смотрит на вас снизу, то есть с другой стороны зеркала)

Рис. 8.2. Ваше отражение

Если бы вы стояли в точке a + ib, глядя в зеркало на стене, то видели бы собственное отражение в зеркале. Ваше отражение выглядело бы так, будто вы стоите в точке a – ib, на другой стороне зеркала, за стеной. Если бы вы стояли на расстоянии 3 метра от зеркала, то b было бы равно 3 м, а -b, где находится ваше отражение, соответственно, -3, то есть за зеркалом. Ваше зеркальное отражение – это более или менее то же самое, что и вы, за исключением того, что оно находится в точке —b, а не +b'.

Теперь вернемся к комплексной плоскости. Точно так же, если бы вы стояли в точке a + ib, то видели бы свое зеркальное отражение стоящим в точке a – ib. Точка a – ib – это, так сказать, зеркальное отражение a + ib.

Математики называют это зеркальное отражение комплексного числа конъюгатом (или сопряженным комплексным числом. – примеч. пер.). Иными словами, если мы меняем знак перед i в комплексном числе a + ib на противоположный, то получаем его конъюгат a – ib. Если два комплексных числа различаются только знаком своих мнимых частей, то они представляют собой конъюгаты. Например 4 + 3i и 4 – 3i – это конъюгаты.

В определенном смысле, это кажется простым и это действительно просто. Но это очень важно, поскольку математики могут делать с этими простыми конъюгатами много разных вещей, а физики используют их для понимания реальности. Прежде чем переходить к такому представлению о мире, давайте сперва рассмотрим особенности комплексных чисел. Два конъюгата отражают друг друга. На рисунке 8.3 показано, что точка a + ib отражает свой конъюгат – точку a – ib.

Рис. 8.3. Комплексные конъюгаты представляют собой отражения

Отражение комплексного числа – это его конъюгат. Они одинаковы, за исключением смены знака перед мнимой частью ib.

Теперь давайте подумаем о психологических аналогах комплексных чисел и их конъюгатов. В главе 7 мы видели, что наше восприятие, подобно комплексному числу, состоит из качеств, относящихся как к общепринятой, так к необщепринятой реальности. Наше поле осознания, включающее в себя все, что мы замечаем, скажем дерево, имеет и реальные, и воображаемые качества. Например, мы можем видеть дерево и как березу (качество ОР), и как заботливое дерево (качество НОР).

Давайте посмотрим, чем могло бы быть отражение, или конъюгат, переживания НОР. У нас есть много способов отражения. К примеру, мы можем повторять другому человеку сказанные им слова. Мы также можем отражать его движения, повторяя их. Когда мы отражаем, другой человек может слышать или видеть то, что он делает. Если чьи-то слова или жесты происходят бессознательно, отражение этих сигналов может позволить другому человеку осознать, что произошло.

Повторение и отражение помогают другому человеку становиться сознательным. Отражение – это основополагающий элемент в создании сознания, что в данном случае означает понимание того, что все возникающие у нас бессознательные жесты, чувства и мысли либо отражаются кем-то еще, либо представляют собой самоотражения. Чем были эти жесты и чувства до того, как стать сознательными? Просто полусознательными, мнимыми, воображаемыми переживаниями человека, у которого они возникали.