О дробном числе—рассуждение несколько сложнее. Кроме «главной единицы», говорит он, существуют и многие другие единицы — двойка, тройка, десятка, сотня, миллион, это тоже некоторого рода единицы. Покамест мы берем числа, составленные из «главной единицы», мы можем иметь только целые числа. Но, вводя другие единицы и сравнивая новые единицы со старыми, мы получаем представление о дробных числах. По этому поводу можно только удивиться, почему нс появляется представление о дробной части, когда мы имеем одну цельную группу нескольких предметов, и почему для этого необходим переход к другой группе или к другим единицам. Кроме того, назвать десятку единицей можно только при том условии, что уже имеется представление о целом и дробном, так что здесь Вейерштрасс утверждает только то, что дробное число возникает тогда, когда оно дробное.

Отрицательное число возникает, по Вейерштрассу, тогда, когда кроме основного элемента е вводится «противоположный» элемент е' удовлетворяющий равенству а+е+е'=а (где а состоит только из элементов e). Отсюда е+е' = 0, и если одну из этих величин назвать положительной, то другая будет отрицательной. Тавтологичность этого определения не нуждается в комментарии.

Немногим лучше обходится Вейерштрасс с иррациональными числами. Он их сводит на целые числа так. Мы можем, говорит он, брать агрегаты чисел, состоящие из главной единицы и из разных дробных частей единицы. Число этих разных групп чисел может расти до бесконечности. Допустим, что у нас имеется по конечному числу элементов в каждой группе, а самих этих групп—бесконечное количество. Тогда и получится иррациональное число. В самом деле, пусть такими группами у нас будут дробные части единицы—десятые, сотые, тысячные и т. д. Если этих групп у нас будет бесконечное число, но в каждую группу будет входить только конечное число элементов, то это и даст нам иррациональное число. Проще говоря, Вейерштрасс хочет сказать только то, что иррациональное число есть дробь с бесконечным числом десятичных знаков. Если на основании этого он думает, что иррациональность сводится на целое число, то это есть только подмена логического определения письменными знаками, которые его обозначают. Иррациональность, если ее брать как таковую, в чистом виде, ни в каком смысле не сводима на цельность. Можно, конечно, понимать ее как целое, но в таком же точно смысле окажутся целыми и все дроби, все трансцедентные и гиперкомплексные числа, точно так же, как все их можно назвать единицами. Называет же Вейерштрасс единицами двойки, тройки, десятки, половины, трети, сотые части и т. д. Но если это не диалектика (в том смысле, как мы говорили в § 23 о вездеприсутствии одного и того же перво–принципа единичности)—а в диалектике Вейерштрасс нисколько не повинен, — то это просто игра словами.

4. Наконец, слабым достижением надо считать определение типов чисел как пары целых чисел. Это представление, восходящее к Гамильтону, взятое в чистом виде, очень недостаточно вскрывает сущность данного типа числа, являясь обычной математической тавтологией, хотя у самого Гамильтона в связи с его векторными представлениями это имело, несомненно, гораздо более глубокое значение.

В учении о числах как о паре целых чисел указывают обычно условия равенства и неравенства пар и способы действий над ними. Если мы имеем в виду дроби, то пары я, b и я', Ъ' равны здесь между собою только тогда, когда ab = a'b ^'. Не нужно особенно напрягать свои умственные способности, чтобы догадаться, что здесь попросту имеется в виду равенство в пропорции произведения крайних и средних. Другими словами, здесь только по другому правописанию записана та святейшая истина, что дроби равны, когда равны отношения их числителей и знаменателей. Но никакое новое правописание, конечно, не создаст логического определения, если оно не получено из другого источника.

Точно таким же характером обладает «условие равенства пар» для отрицательного числа. Тут пары а, b и а', b' будут равны при условии a+b' — а' + b. То же самое в комплексных числах и пр. Везде тут— словесный оборот вместо логического построения.

5. В традиционном математическом учении о типах числа поражает отсутствие всякой систематики и методологии. Обычно, желая перечислить решительно все типы числа, говорят, что каждое действие имеет для себя обратное действие, и когда это последнее прямо невыполнимо, то «условились» — де (как будто бы можно было не условиться?) ввести новые понятия—отрицательного, иррационального и мнимого числа. Этим и кончается вся «система». Что единица, нуль и бесконечность есть совсем особые числа, со своим особым влиянием на все прочие числа, об этом в данной «системе» не говорится ни слова, хотя своеобразие этих чисел бьет в глаза на каждом шагу. Всякому ясно, что это не просто разные числа, но разные типы числа, разные категории числа. Почему же о них нет ни слова в указанной «системе»?

О прочих типах числа, хотя они непосредственно связаны с указанной «системой», говорится весьма неохотно и большею частью только там, где уже сам материал хватает математика за горло и требует введения новых чисел. Как возрадовались бы многие математики, если бы удалось выкинуть из низшей геометрии число π. Но, оказывается, без него невозможно решить почти ни одной задачи из теории круга и круглых тел. И вот волей–неволей вносят это π в геометрию. Но как вносят! Вносят, конечно, чисто вычислительно, не давая никакого представления о нем как именно об особом типе числа, а не просто о числе наряду с прочими—напр., иррациональными—числами. О е вяло говорят в низшей алгебре, немного больше—в анализе (потому что без него нельзя было бы понять многих самых элементарных форм дифференцирования). Но где же это е изучается как таковое? Математики не знают даже, в какую науку можно было бы отнести теорию этого е, не то в алгебру, не то в анализ. А то, что это есть чистейшая арифметика, большинство, пожалуй, даже удивится. Но вот без е и π никуда двинуться нельзя, а без остальных трансцедентностей можно двигаться очень далеко. И что же? Результат очень простой: нет почти никакой систематической теории трансцедентностей. О кватернионах я уж и совсем не говорю. Хотя это наиболее зрелый продукт числового типа вообще, они, можно сказать, крайне непопулярны в современной математике (несмотря на значительные удобства, которые они приносят с собою); и тоже неизвестно, арифметика ли это, алгебра или анализ.

Нечего и говорить о том, что предложенное выше диалектическое построение числовой типологии, вероятно, содержит много изъянов, недостатков и, может быть, даже просто ошибок. Однако это только первый опыт. После него другие смогут дать уже и более совершенные построения.

1. а) Натуральный ряд чисел есть энергийное становление (становление единицы). Тут все числа представляют собою по типу одно и то же число; и разница между ними не типовая, но количественная. «Количество» создает разницу в пределах одного и того же «качества», не затрагивая его как таковое. Когда еще не получено число со всеми выраженными количественными различиями, диалектический переход к типам числа невозможен. Но вот натуральный ряд дает числа с любым количественным значением, так что категория числа в этом отношении оказывается вполне исчерпанной. В таком случае дальнейшие диалектические противопоставления уже не могут быть чисто количественными. Дальнейшее противопоставление ведет уже к изменению самого типа, самой категории числа, как он дан в числе натурального ряда. И мы пришли к разным типам числа, отличающимся друг от друга уже не количественно, но категориально. В этом смысле все типы числа суть инобытие в отношении натурального ряда, где сконструированы числа при условии только чисто количественных различий. Возникает неизбежный вопрос о диалектическом объединении и отождествлении натурального ряда и этих типов. Рассмотрим этот синтез.