Что касается, наконец, выразительного момента в понятии кольца* то, как и в категории группы (§ 124), мы имеем здесь элемент–единицу и обратный элемент. Но только эта единица налична здесь отнюдь не всегда. Так, целые числа образуют кольцо с единицей, а четные— кольцо без единицы.

b) Если от понятия кольца перейти к его реальной структуре, то тут мы сталкиваемся сначала с понятием подкольца, т. е. нового кольца, входящего в состав данного кольца, а потом с очень важным понятием идеала, вполне аналогичным понятию нормального делителя в группе. Если в состав данного кольца входит такая совокупность элементов, что из вхождения в нее двух элементов следует вхождение в нее и их произведения и что в нее же входит и произведение одного из ее элементов на произвольный элемент кольца, то такая совокупность называется идеалом кольца. Если оставить в стороне нулевой идеал (состоящий только из нуля) и единичный идеал (содержащий все элементы кольца), то идеалом, порожденным через элемент а, мы называем идеал, состоящий из всех элементов вида га+па, где г—элемент кольца, а η—вообще целое число. Это есть наименьший идеал, содержащий а, потому что во всякий идеал (а) по крайней мере входят все кратные га и все суммы ±Σα=ηα. Идеал (а) есть пересечение всех идеалов, содержащих а. Идеал (а) называется главным идеалом. Идеал вообще может порождаться и несколькими элементами.

К кольцу применимы также понятия изоморфизма и гомоморфизма, аналогично группам. И как там нормальные делители были связаны с явлением гомоморфизма, так здесь с этим явлением связаны идеалы. Имея два гомоморфные кольца, мы разбиваем кольцо на классы, именно на совокупности элементов одного кольца, имеющих один и тот же образ в другом кольце. Класс кольца, соответствующий нулю при гомоморфизме этого кольца с другим кольцом, является идеалом первого кольца, а все прочие классы суть классы вычетов этого идеала, так что всякому гомоморфизму соответствует идеал. Можно сказать и так: при помощи идеала можно построить кольцо, гомоморфное с данным. В это кольцо войдут элементы в виде классов вычетов по идеалу. Кольцом вычетов исчерпываются все кольца, гомоморфные с данным, откуда можно сказать, что кольцо классов вычетов изоморфно с элементами другого кольца. Или: кольцо, гомоморфное с другим, изоморфно кольцу вычетов последнего. И обратно, кольцо вычетов по данному произвольному идеалу есть гомоморфное отображение кольца. Пусть мы имеем кольцо целых чисел. Классами вычетов по какому–нибудь положительному числу окажутся в этом кольце классы, дающие при делении на число этого идеала тот или иной постоянный остаток.

Эта картина построения колец требует диалектической фиксации, аналогичной с теорией групп (§ 124). А именно, один класс чисел, входящий в кольцо, окажется первообразным, указывая на основную структуру «бытия» кольца, а наличие вообще классов указывает на его становление. Вычеты приводят к наличному бытию, впервые создавая реальное существование классов с абсолютным значением отдельных элементов. Это и есть идеалы, или нормальные делители кольца. Отсюда уже вытекает и выразительная форма кольцевой структуры, которая может быть представлена в виде кольца главных идеалов. Здесь внутреннее строение идеала оказывается выходящим за пределы идеала, так как оно распространено на все кольцо, структура которого оказывается, таким образом, внутренно–внешней. Уже кольцо целых чисел содержит только главные идеалы, откуда область целостности с единицей, в которой каждый идеал является главным, и есть не что иное, как кольцо главных идеалов. Кольцо целых гауссовских чисел a+bi также есть кольцо главных идеалов.

3. а) Наконец, в § 123, п. Зb, была указана и еще одна выразительная форма, это—поле. Поле можно определить как кольцо, в котором уравнения ах=b и уа — b всегда разрешимы при αφ0 (и, конечно, при условии, что имеется по крайней мере один элемент, не равный нулю). Попросту говоря, поле есть совокупность элементов, над которыми можно производить четыре арифметических действия, не выходя за пределы самой совокупности. Отсюда перво–принципом поля является двойная композиция—сложения (вычитания) и умножения (деления). Выявляется этот перво–принцип в том, что поле состоит из элементов как из результатов этой композиции. Тут же—и законы вычитания и умножения, аналогичные предыдущему. Стоит отметить, что поле не может содержать делителей нуля. Из разрешимости указанных выше уравнений вытекает существование элемента–единицы и, в дальнейшем, обратного элемента. Поэтому диалектика понятия поля вполне аналогична диалектике понятия группы, модуля и кольца.

b) Обратимся к реальной структуре поля. [926]

Проблема взаимоотношения личности и Абсолюта занимала А. Ф. Лосева в течение всей его жизни. Первые, но уже существенные мысли на эту тему были высказаны им еще в гимназической работе «Атеизм. Его происхождение и влияние на науку и жизнь» (1909) [927]. Интерес к проблеме нашел свое выражение в примечательных записях «Рождение мифа», «Общая методология истории религии и мифа», «О реформе закона Божия в гимназии» (все приблизительно 1916 г.). К ней он возвращался молодым профессором Нижегородского университета («О методах религиозного воспитания», 1921) [928], когда велась интенсивная работа над будущим «восьмикнижием» (1927—1930 гг.). Но все это были отдельные наблюдения, связанные то ли с прочитанными книгами, требующими живого отклика молодого автора, то ли с опытом педагогической работы в гимназиях и школах, которую Лосев любил как прирожденный педагог и воспитатель юных душ.

При этом молодой Лосев пристально изучает достижения современной ему психологии, чему способствовало близкое общение с проф. Г. И. Челпановым и работа в Психологическом институте под руководством этого выдающегося ученого  [929].

Г. И. Челпанов (1862—1936), философ и психолог, — первый учитель Лосева в Московском университете, рекомендовал его, первокурсника 1911 года, в Религиозно–философское общество памяти Вл. Соловьева. Он же принял студента Лосева в члены Психологического института, торжественное открытие которого в присутствии выдающихся зарубежных и русских психологов произошло в марте 1914 г. [930]К этому времени относятся работы студента «Проект экспериментального исследования эстетической образности», «Проект экспериментального исследования эстетического ритма» (9 октября 1914), «Экспериментальное исследование эстетической образности» (17 ноября 1914). Лосев руководит в институте темой «Об эстетической образности». Он участвует в качестве испытуемого при разработке ряда тем: «О типах представлений» (ср. его гимназические загагёки «Типы моей памяти» от 12 ноября 1909) [931], «Исследование процесса суждения», «Психическая природа представлений и понятий», «О взаимодействии одновременных ощущений», «Анализ процесса выбора», «Влияние усовершенствования в одной умственной способности на деятельность другой способности», «Анализ процесса воспоминания в области формы и цвета».

Студента Лосева интересует как настоящего профессионала психология личности. Он записывает в дневнике: «…жизнь души и жизнь сознания—это удивительная вещь». Он обращает внимание и на внешность человека: «Какая интересная вещь физиогномика», стоит всмотреться в человеческие лица, «что таят они» (26/VII—1914), и открывается целый мир. Эксперименты проводятся Алексеем Лосевым не только в лабораториях института. Он анализирует два портрета великой княжны Ольги Николаевны, старшей дочери императора Николая II, погибшей со всей семьей в ипатьевском доме Екатеринбурга (1918). Этому анализу посвящены двенадцать страниц дневника 1915 г. [932]Физиогномическое исследование создает психологический образ великой княжны, и вывод, сделанный Лосевым, поражает нас, тех, кто знает об участи, казалось бы, счастливой, молодой, красивой царственной особы. Оказывается, Ольге Николаевне свойственна «твердая решительность к повиновению своему року», «трагическая предназначенность», «покорное и серьезное выполнение этого рока» (14 января 1915 г.).