b) Войдем ближе в содержание понятия композиции. Сказано, что это есть попросту различные арифметические действия. Когда система наших числовых систем определена сложением и вычитанием, она называется модулем. Когда она определена умножением и делением, ее называют лучом или группой в узком смысле слова. Когда тут действуют сложение, вычитание и умножение, говорят о кольце. И когда, наконец, [говорят] о всех первых четырех действиях арифметики, [то] говорят об «алгебраическом» поле или теле (допуская обычную противоречивость в термине «алгебраический»). Наконец, прочие арифметические действия представлены в том, что называется расширениями поля.

c) Термин «группа» употребляется в разных смыслах. Тут, как и везде в математике, целый ряд неясностей термина. Прежде всего, неизвестно, относится ли теория групп к арифметике, к алгебре или к анализу (о геометрии согласимся, что тут только применение теории групп, хотя также можно было бы говорить, что функциональные группы суть только применение арифметических). Затем, если взять обычную формулировку группы, то она дается настолько широко, что сюда войдут и модули, и кольца, и поля, так что неизвестно, что же, собственно, считать группой в настоящем смысле. Можно условиться понимать под группой совокупность, образованную по закону умножения и деления. Наконец, при различии композиционных принципов все эти выразительно–числовые совокупности настолько близко совпадают по своей формальной структуре, что можно было бы избежать многих терминов, сводя их к общевыразительной терминологии и избегая столь любимых математиками схоластических нагромождений и усложнений.

Так как понятие группы—наиболее общее и широкое во всей этой выразительной сфере, то остановимся больше на нем.

1. Остановимся сначала на математическом определении понятия группы. Обычно это определение расчленяют на несколько тезисов, которые мы и рассмотрим с нашей обычной диалектической точки зрения.

a) Говорят: существует такая операция (ее называют композицией» или символическим умножением), при помощи которой два элемента (A _i) и (A _j) системы могут быть однозначно связаны. Другими словами* два любых элемента системы определяют собою однозначно некоторый свой совокупный результат, который условно можно назвать «произведением»; элементы тут «перемножаются».

В таком обычном широчайшем понимании композиции не говорится ни о каком определенном арифметическом действии. Не говорится тут даже и вообще об арифметических действиях. Под композицией тут можно понимать любое арифметически–алгебраическое действие и любое их объединение; можно понижать и любые геометрические процессы (вращение, сдвиг, перенос, отображение и пр.). Словом, понимайте тут что хотите, но только под одним условием: результат композиции должен быть обязательно определен входящими в нее элементами системы.

Ясно, что композиция в этом смысле есть самое общее, что характеризует группу, самый ее источник и первоисток. Она в этом смысле вполне играет роль перво–принципа в определении понятия группы.

b) Далее говорится: результатом данной композиции элементов группы является опять элемент той же группы. Диалектический смысл этого момента в определении группы очень важен.

Прежде всего, самый этот способ выражения хотя и вполне точный, но не вполне ясный, и не худо было бы подобные выражения заменить другими. Смысл этого утверждения заключается в следующем. Если мы имеем ряд элементов данной группы, то, очевидно, раз результат объединения каждых двух из них принадлежит к самой группе, сама группа состоит из этих объединений, точнее говоря, из всевозможных объединений («произведений»). Мы видим отсюда сразу, что упомянутый момент определения группы просто говорит о том, что группа есть система числовых систем, ряд рядов, и что эта система построена по определенному закону композиции. Если наш основной ряд есть А ₁А ₂, А ₃, А ₄, то, считая A ₁за единицу (о чем еще будет речь ниже), мы получаем такую таблицу, носящую имя таблицы Кэли:

Тут наглядно видно, почему группа есть ряд рядов и каково значение в ней композиционного принципа.

Задаваясь вопросом о том, какова категориально–диалектическая сущность этого момента определения понятия группы, мы должны обратить внимание на то, что указанный выше перво–прннцип группы, т. е. самая композиция, выставлен здесь двояко. Во–первых, весь основной ряд «перемножен» на первый член ряда, и, во–вторых, весь основной ряд «перемножен» на все члены этого же ряда. Другими словами, наш перво–принцип, композиция, во–первых, как–то осуществлен, осуществлен вообще; это значит, что мы уже покинули тут стадию первопринципа группы и перешли к ее принципу, к ее «бытию». Во–вторых же, он осуществлен тут вполне определенным образом, а именно так, что мы при этом осуществлении не только пробегаем весь ряд, но осуществляем еще и самый ряд—соответственно пробегая опять все его члены подряд. Это значит, что композиционный перво–принцип перешел тут от своего бытия к своему становлению: мы не только осуществили композицию, но еще раз пустили это осуществление в новое осуществление. Таким образом, утверждение, что в группе результат композиции двух элементов принадлежит в качестве элемента к самой группе, освещает сразу и бытие, и становление в самом понятии группы.

Отметим и то обстоятельство, что на приведенной таблице Кэли яснейшим образом видна сущность перво–принципа. Ведь всякий первопринцип (как это мы хорошо знаем, и прежде всего из § 23) присутствует в соответствующей ему сфере бытия совершенно одинаково и самотождественно, являясь в то же время и принципом всякого различия. В нашей таблице в каждом элементе группы одинаково и целиком присутствует идея определенного рода композиции двух элементов. Элементы везде тут разные, да и результат композиции везде разный. Но самая композиция формально везде одна и та же, и ее результат в этом смысле везде один и тот же.

c) Пойдем дальше. За становлением идет ставшее, наличное бытие. Наша композиция и все ее результаты пусть застынут в некоей твердой данности. Чем определяется эта твердая данность? В каком виде все элементы будут утверждены в качестве факта? Когда мы в § 65 переходили в область арифметических операций от становления к ставшему, мы столкнулись с т. н. законом счета. Как ведут себя элементы группы в этом смысле и применим ли к понятию группы этот способ рассуждения вообще?

Не без удивления мы находим в определениях понятия группы точные указания на эти законы. А именно, 1) утверждается, что композиция группы обязательно обладает ассоциативным законом, т. е. что (Φτ) и= φ(τυ), и что, стало быть, выражение φτυ имеет также вполне определенный, единственный смысл, что и φτ. С другой стороны, коммутативный закон совсем не обладает такой обязательностью, так что, вообще говоря, φτ ≠ τφ и все группы делятся на коммутативные (Абелевы) и некоммутативные.

d) Но в особенности ярко торжествует свою победу наша пятиступенная диалектика, когда мы задаемся вопросом о том, где же завершительный, выразительный момент определения понятия группы и как на своем языке выражают его математики. Его можно выразить более общо и менее общо. Для первого случая вспомним, какую форму принимало у нас выражение в применении к действиям. Арифметическая операция превращается тут в целый комплекс действий, который в иной комбинации своих направлений оказывается уравнением. Уравнение всегда выразительно, давая метод движения от внешнего неизвестного к известному внутреннему или от внешнего известного к внутреннему неизвестному. Если к элементам; группы применим принцип уравнений, т. е. если уравнения с неизвестными в качестве элементов группы обязательно разрешимы, то возможность этих уравнений и обеспечит нам искомую выразительность определения понятия группы. Действительно, если принять во внимание возможную некоммутативность, то, оказывается, для каждой группы уравнения