Несравнимые («неположенные) понятия - это понятия, объемы которых либо полностью исключают друг друга, либо находятся в отношении противоречия друг другу. Так, объемы понятий "треугольник" и "растение" не содержат ни одного общего элемента, их пересечение - пусто. То же самое можно сказать о понятиях, которые употребляются в хорошо известном утверждении, характеризующем несравнимость: "В огороде бузина, а в Киеве дядька".

Особый интерес представляют понятия, объемы которых находятся в отношении контрарности (противности) друг другу, как, например, "белый" и "черный", "холодный", и "горячий", "длинный" и "короткий" и т.д., которые представляют собой свойства, расположенные на границе соответствующих множеств свойств. Между "белым" и "черным", "холодным" и "горячим" и т.д. располагаются промежуточные свойства. В силу этого объемы контрарных понятий занимают крайние положения на круговых диаграммах (рис. 4).

Отношение контрадикторности (противоречивости) между объемами понятий существует тогда, когда они, с одной стороны, отрицают друг друга, а с другой исчерпывают объем целого понятия (рис. 5).

В языке противоречие выражается отрицательной частицей перед словом, выражающим свойство. Примерами могут служить свойства, выражающие такие понятия, как белый и не белый, холодный и не холодный, черный и не черный и т.п. На диаграмме (см. рис. 5) объемы таких понятий составляют две половины круга, хотя гораздо лучше представить объем положительного понятия кругом, а отрицательного - прямоугольником, в который входит этот круг, поскольку противоположное (отрицательное) понятие содержит обычно большее число элементов (рис.6).

Поскольку объемы понятий образуют классы (или множества) предметов, элементы которых обладают признаками, сформулированными в их содержании, то над этими классами (или множествами) можно производить определенные логические операции. Они тождественны операциям, которые изучаются в теории множеств.

Объединением классов (или множеств) называют класс, который содержит в своем составе все элементы, входящие в каждый отдельный класс. Если обозначить отдельные классы через A₁, А₂, А₃,..., А_n, то объединенное множество можно представить как дизъюнкцию (или логическое сложение) всех перечисленных классов (или множеств):

UA_i = A₁U A₂U А₃ ... UA_n.

Например, объединение плоских фигур будет состоять из класса треугольников, класса четырехугольников, окружностей и других фигур, класс деревьев - из классов хвойных, лиственных и других деревьев.

Пересечением (или умножением) классов называется новый класс, который содержит в своем составе те и только те элементы, которые входят в каждый из отдельных классов. Иначе говоря, он содержит элементы, общие всем отдельным классам. Поэтому сама операция пересечения классов иногда называется взятием их общей части. Обозначив отдельные классы через A₁, А₂, А₃,..., А_n, их пересечение можно представить в виде: ∧A_i = A₁, ∧А₃,..., ∧А_n, где знак ∧ обозначает операцию пересечения, умножения или конъюнкции классов.

Под обобщением понятий подразумевается операция перехода от понятий меньшего объема к понятиям большего объема, а под ограничением - обратный процесс перехода от понятий большего объема к понятиям меньшего объема. Однако в отличие от предыдущего случая отношений понятий с фиксированными объемами, при обобщении и ограничении понятий происходит также изменение содержания понятий, поскольку при обобщении некоторые признаки исключаются, а при ограничении, наоборот, прибавляются. Это непосредственно следует из закона обратного отношения между объемом и содержанием понятия.

Обобщение понятий неразрывно связано с процессом абстрагирования, в результате чего отвлекаются от тех признаков, которые в ходе познания оказываются несущественными, и потому опускаются. Процесс ограничения связан с противоположным движением мысли, который называется конкретизацией, или точнее спецификацией. Только благодаря конкретизации общие понятия можно применять для исследования частных случаев.

Наиболее ясно обобщение и ограничение понятий прослеживается в математике, причем в чистой, (теоретической) математике преобладает процесс обобщения понятий, а в приложениях математики - их конкретизация.

Хотя с логической точки зрения такие обобщения понятий представляются вполне ясными и даже очевидными, но исторически новые понятия и основанные на них теории находили признание не сразу, не без борьбы мнений и конфликтов. Достаточно лишь отметить, например, с какими трудностями ученые столкнулись при обобщении понятия числа и введении понятий иррациональных и мнимых чисел, а в недалеком прошлом - понятий о неевклидовых пространствах и бесконечных множествах. В неменьшей степени конфликты сопровождали обобщения и введение новых понятий в астрономии мира, например, гелиоцентрической системы мира (вместо геоцентрической птолемеевой системы мира), в физике, биологии и других науках.

Существуют самые разнообразные способы определения понятий, которые ориентированы на потребности исследования разных наук, но все они ставят своей целью:

1) четко отделить класс предметов определенного типа от других;

2) выявить их специфическое содержание, т.е. совокупность существенных признаков, которые присущи их элементам.

Достижение второй цели представляет наибольшие трудности, поскольку раскрытие существенных признаков предметов - процесс длительный, исторический. Сущность не лежит на поверхности наблюдаемых явлений, она постигается в результате глубокого и всестороннего их познания. При этом за сущностью первого уровня скрывается сущность второго уровня и так до бесконечности.

Кроме того, при определении понятий приходится иметь дело с существенными признаками разного рода, например, для геометрии существенными являются пространственные формы мира, для химии - состав исследуемых веществ и их превращения в результате химических реакций, для экономики - производственные отношения людей. Поскольку в различных областях познания и практической деятельности преследуются разные цели, целесообразно применять разные способы определения понятий.

С помощью определения мы ограничиваем класс рассматриваемых объектов и, следовательно, указываем границы применения вводимого понятия, а тем самым и раскрываем специфику понятия как особой формы мышления. Область применения понятия устанавливается с помощью объема понятия, который в свою очередь зависит от содержания, т.е. от совокупности его существенных признаков. Таким образом, в определении содержание и объем понятия выступают в неразрывном единстве.

В каких случаях возникает необходимость в определении понятий?

1. Уточнение и определение понятий необходимо в любом процессе доказательства и аргументации вообще. Математическое доказательство, как известно, опирается не только на аксиомы, но и на первоначальные, исходные понятия, которые считаются известными и принимаются без определения. Все другие понятия должны быть определены с помощью исходных понятий. Необходимо иметь в виду, что даже в самой строгой и точной науке все определить невозможно, ибо в противном случае одно понятие будет определяться через другое, а оно в свою очередь через третье и так до бесконечности. Чтобы исключить такой регресс в бесконечность, следует прервать процесс определения в каком-то месте и принять некоторые понятия как исходные, не требующие определений. Обычно такие понятия хотя и не определяются, но поясняются: например, понятия числа в арифметике, прямой, точки и плоскости - в геометрии, полезности - в экономике, справедливости — в социологии и т.д. В процессе аргументации, когда мы стремимся убедить кого-то в чем-то, также приходится постоянно уточнять понятия, поскольку именно расхождения в содержании или смысле терминов и слов, а особенно замена понятий метафорами и сравнениями, вызывает многочисленные споры.