Все это свидетельствует о том, что возникновение парадоксов не является чем- то незакономерным, неожиданным, случайным в истории развития научного мышления. Их появление сигнализирует о необходимости пересмотра прежних теоретических представлений, выдвижения более адекватных понятий, принципов и методов исследования. Не зря же великий Пушкин восклицал: "И гений, парадоксов друг!".

1. Чем отличается доказательство от дедуктивного умозаключения?

2. Можно ли использовать гипотезы при доказательстве?

3. Как используются условные и разделительные умозаключения при доказательстве?

4. Чем отличаются косвенные доказательства от прямых?

5. Почему в науке, особенно в математике, обращаются к косвенным доказательства?

6. На какой основной логический закон опираются в косвенных доказательствах?

7. Что называют структурой (строением) доказательства?

8. Проверьте, является ли доказательством формула: ((А → В) ∧ ¬ В)) → А.

9. Что называют опровержением и какие способы опровержения используются в науке?

10. Перечислите основные правила доказательства и опровержения.

11. Почему недопустимы логические противоречия в доказательстве?

12. Покажите несостоятельность следующего доказательства: " Так как мышьяк сильнейший яд, то он не может использоваться для лечения и в крайне малых дозах".

13. Чем отличается паралогизм от софизма?

14. Как возникают парадоксы в науке?

Под аргументацией в широком смысле слова, как уже отмечалось выше, понимают рациональный способ убеждения людей с помощью выдвижения, обоснования и критической оценки утверждений, гипотез, предположений и мнений соответствующими аргументами (или доводами). Такое убеждение называется рациональным именно потому, что оно опирается на аргументы, идущие от разума, а не от чувств, эмоций и иных доводов.

Наиболее убедительными в этом смысле являются доказательные рассуждения, но они опираются на аргументы, истинность которых уже известна или ранее доказана. Кроме того, в качестве средств демонстрации (или доказательства) здесь используются только дедуктивные правила вывода.

Нетрудно, однако, понять, что в реальном процессе поиска истины, в научном познании, а также в процессе обсуждения других проблем, принятия практических решений, в ходе спора, дискуссии и полемики положение складывается иначе, так как во всех этих случаях почти никогда аргументы не известны с полной достоверностью. В ходе обсуждения (или спора) уточняются не только доводы, но и точки зрения, утверждения и мнения его участников, находящихся под влиянием критики оппонентов. Иначе говоря, поиск истины, спор, дискуссия меньше всего напоминают такой простой процесс изложения вопроса, когда, например, преподаватель доказывает теорему, а студенты следят за его рассуждениями и запоминают их ход и детали.

Можно поэтому сказать, что доказательство представляет собой монолог, когда один говорит и аргументирует, а другие его слушают. Конечно, это тоже один из способов аргументации, но он имеет пассивный характер.

Спор, дискуссия, полемика и, в принципе, любое обсуждение носят активный характер, так как предполагают столкновение мнений, точек зрения и позиций по обсуждаемому вопросу. Поэтому они происходят не в форме монолога, а диалога.

Возникновение диалога как совместного поиска истины в ходе беседы и полемики связывают с развитием античной риторики. Само это слово происходит от греческого корня и в буквальном переводе означает "вести беседу, спор или полемику". От него же произошел термин "диалектика".

Признанным мастером диалога в античной Греции считался Сократ, который в своих беседах по нравственным и политическим вопросам учил, как можно совместными усилиями искать истину путем умело поставленных вопросов. Отвечая на них, собеседник высказывал определенное мнение по данному вопросу. Из него, как предположения, выводилось соответствующее следствие, которое затем сопоставлялось с фактами, свидетельствами и другими хорошо обоснованными истинами. Задача ведущего диалог как раз и заключалась в том, чтобы привести его участников в противоречие с ранее высказанными ими мнениями и на этом основании отвергнуть их. В качестве иллюстрации обратимся к простому примеру. Спрашивается, является ли обман злом. Многие, не задумываясь, ответят на это утвердительно. Но, если речь идет, скажем, об обмане неприятеля во время войны и других подобных случаях, то очевидно, что прежнее мнение придется изменить и сказать, что при некоторых обстоятельствах обман вполне допустим и не является злом. То же самое, в принципе, можно сказать о сложных случаях, когда умелая постановка вопросов и анализ полученных ответов помогает находить решение проблемы, искать истину. Именно поэтому сократовский диалог называют также вопросно-ответньм методом поиска истины. Такой поиск, во-первых, связан с выведением логических следствий из мнения, и, во-вторых, со стремлением опровергнуть его с помощью очевидных фактов и хорошо установленных истин.

На этом основании нередко метод диалога отождествляют с гипотекодедуктивным способом рассуждений. Действительно, ответ на вопрос при диалоге часто представляет собой не категоричное, истинное утверждение, а предположение, мнение, или гипотезу, которая нуждается в подтверждении или опровержении. Для этого из нее выводится следствие, которое и подлежит проверке. Если обозначить гипотезу через Н, а следствие через Е, то логическую схему рассуждения при диалоге сократовского типа можно представить так:

Н → Е

¬ Е

Следовательно, ¬ H

Эта схема, как мы уже знаем, является опровергающим (или отрицательным) модусом условно-категорического умозаключения. Она применяется для опровержения гипотезы на основании ложности полученного из него следствия. Однако ценность диалога состоит не в том, чтобы уметь выводить следствия из выдвигаемых мнений и предположений, а затем проверять соответствие следствий действительности. Главное, чем привлекает диалог - это искусство постановки вопросов, что предполагает и хорошее знание предмета спора и мастерство в последовательности постановки вопросов. Не зря Сократ сравнивал процесс ведения диалога с искусством повивальной бабки и называл его маевтикой, т.е. помогающей рождению новой мысли.

Таким образом, гипотетико-дедуктивный метод помогает отсеивать, исключать ошибочные предположения и гипотезы и тем самым сужает круг поиска истины. Но сам процесс поиска нельзя осуществить с помощью какой-либо чисто механической процедуры или описать с помощью заранее заданного алгоритма. Поиск всегда связан с творчеством, в котором доминирующую роль играют интуиция, воображение, скрытые аналогии и тому подобные нелогические факторы.

Важнейшая отличительная особенность диалога, как метода поиска и обоснования новой истины, заключается в том, что он предполагает взаимодействие его участников в этом процессе. Его участниками могут быть не только два человека, что следует из буквального перевода самого термина, а целая группа или коллектив заинтересованных людей. В современной теории для этого вводится особое понятие аудитории, под которой подразумевается не только коллектив, слушающий того или иного оратора, но и любая читательская или зрительская аудитория, которую в чем-то хотят убедить. В принципе любая, самая обширная группа или коллектив людей, к которым обращена определенная аргументация, составляет аудиторию. С другой стороны, даже отдельного человека можно считать аудиторией для другого, пытающегося его убедить в истинности своих утверждений или справедливости принятых решений.

На первый взгляд кажется, что введение понятия аудитории стирает грань между диалогом и монологом, аргументацией и доказательством, так как в последнем случае преподаватель также обращается к аудитории студентов. Однако при этом он не спрашивает их, согласны ли они с его аргументами и ходом рассуждений. Если они приняли его исходные посылки, например, аксиомы или ранее доказанные теоремы, то должны согласиться и с заключениями. Правда, в некоторых случаях для развития активности и самостоятельности мышления преподаватель может вступить в диалог с аудиторией и вести рассуждение так, чтобы студенты сами выдвигали аргументы, анализировали и обосновали их, прежде чем прийти к верному результату. Но такая форма диалога весьма полезна с дидактической точки зрения, направлена не столько на поиск новой истины, сколько на ее обоснование, ибо результат уже заранее известен преподавателю. Тем не менее, даже такая форма диалога оказывается весьма эффективным средством в процессе обучения и образования.