Когда говорят об эпсилонах или о языке эпсилон-дельта, речь идёт вовсе не о секретных кодах Министерства обороны, а о сложном математическом аппарате, который напрямую связан с понятием предела. Первое определение понятию предела сформулировал Бернард Больцано (1781–1848), не получивший, к сожалению, при жизни должного признания. Первым, кто использовал это понятие на практике, был Огюстен Луи Коши (1789–1857), однако окончательное строгое определение предела дал Карл Вейерштрасс. Определение предела на языке эпсилон-дельта является чрезвычайно точным в той части, которая касается делимости на бесконечное множество частей. Хотя это определение очень сложно понять тому, кто не владеет некоторыми математическими знаниями, оно тем не менее долгое время использовалось в учебниках для средней школы. Мы не хотим сказать, что старшеклассники недостаточно умны, чтобы понять его, но не стоит ожидать, что все поймут его с одинаковой лёгкостью. Во многих учебниках оно приводится мелким шрифтом, и преподаватели обходят его молчанием.

Карл Вейерштрасс на литографии 1895 года. Этот немецкий математик был первым, кто использовал на практике язык эпсилон-дельта.

Попробуем сделать понятие предела более ясным, несколько упростив его.

По сути оно имеет много общего с понятием накопления. Представим, что перед входом в помещение образовалась очередь. Можно заметить, что люди постепенно становятся ближе ко входу и друг к другу. Это совершенно естественно: изначально, когда в очереди немного людей, они стараются сохранять комфортное расстояние между собой, но по мере того как число людей растёт, расстояние между ними уменьшается. Интересно, что мы говорим о двух разных расстояниях, которые, однако, тесно связаны между собой: о расстоянии между началом очереди и входом и о расстоянии между людьми в очереди, которое по мере того как мы приближаемся к концу, увеличивается. Это логично, так как те, кто становится в очередь, стараются сохранять комфортное расстояние между собой, но по мере того как очередь движется вперёд, люди чувствуют давление тех, кто находится позади. Можно сказать, что люди скапливаются у входа.

Можно определить степень скопления людей с помощью параметра, который будет описывать, например, изменение расстояния между людьми в очереди по мере приближения к её началу. Как правило, этот параметр будет постепенно уменьшаться.

В очереди, например у входа в кинотеатр, люди собираются у дверей, где расстояние между ними будет минимальным. По мере отдаления от входа расстояние между людьми увеличивается.

Степень скопления людей можно определить, выбрав в качестве единицы измерения конкретное расстояние, например 50 см. Если в 50 см от входа находятся люди, это будет соответствовать определённой степени скопления. В зависимости от величины этой единицы измерения число людей будет изменяться. Аналогично можно измерить степень скопления людей, оценив расстояние между ними.

Здесь возникает первый интересный вопрос: когда мы видим скопление людей, логично предположить, что они собрались по какой-то причине, то есть это скопление возникает вокруг определённого места, где происходит что-то важное. Когда мы видим на дороге скопление муравьёв, то сразу же понимаем, что где-то поблизости находится еда или вход в муравейник. Ещё один пример — скопление машин на автомагистрали, которое служит признаком того, что поблизости находится пункт оплаты проезда или произошла авария. Эти примеры помогут нам понять одно из самых интересных открытий в истории математики. Оно касается существования определённых чисел, которые в течение веков скрывались в мире бесконечно малых.

В предыдущих примерах речь шла о дискретных множествах. Рассмотрим непрерывные величины, так как они допускают возможность бесконечного деления.

Оставим скопления людей и автомашин и рассмотрим возможные множества точек на прямой. Допустим, что дана последовательность точек а₁, a₂, а₃, а_n…, которые обладают одним свойством: соседние члены последовательности располагаются всё ближе и ближе друг к другу. Очевидно, что они скапливаются вокруг некоторой точки — обозначим её P. Допустим, что выбранной нами основной мерой длины является отрезок длиной d. Если мы поместим один конец этого отрезка в точку P, то увидим, что некоторые точки последовательности окажутся внутри этого отрезка длиной d.

Более того, мы сможем найти точку а_n, после которой все точки будут располагаться внутри отрезка d. Если мы уменьшим длину отрезка и сделаем её равной d' < d, то все точки, начиная с более удалённой, а_m, будут располагаться внутри этого нового отрезка. Именно такое значение имеет эпсилон в математическом анализе.

Мы можем гарантировать, что для любой величины d всегда найдётся такое n, начиная с которого все элементы последовательности будут находиться внутри отрезка d. В этом случае говорят, что последовательность сходится в точке P. Это означает следующее: во-первых, эта последовательность бесконечна, во-вторых, расстояние между точкой P и произвольным членом последовательности может быть сколь угодно малым.

Когда мы работаем с дискретными множествами, всё изложенное выше практически неприменимо. Рассмотрим последовательность чисел 100, 50, 25, 12, 6, 3, 1 (можно представить эту последовательность как очередь из семи чисел у входа, которым, например, является ноль). Очевидно, что разница между произвольным членом последовательности и нулём постепенно уменьшается, равно как и разница между двумя соседними членами последовательности. Например, между 100 и 50 находится 49 чисел, между 6 и 3 — всего два. Тем не менее нельзя сказать, что члены последовательности скапливаются в окрестности точки 0. Очевидно, что если мы возьмём отрезок длиной 1/2 и поместим один из его концов в точку 0, на этом отрезке не будет находиться ни один член последовательности. А если мы рассмотрим последовательность

то вблизи нуля всегда будет находиться какой-либо её член, сколь бы малым ни было расстояние до нуля.

На языке математики эти расстояния называются окрестностями. Окрестность подобна скобкам, в которые заключена точка P. Основная идея заключается в том, что сколь малыми ни были бы эти скобки (то есть радиус окрестности), в них всегда будут находиться элементы последовательности. В языке эпсилон-дельта основную роль играет соотношение между двумя числами: шириной скобок (радиусом окрестности, который обычно обозначают ε — эпсилон) и числом n, определяющим элемент а_n, начиная с которого все элементы последовательности будут располагаться внутри заданной окрестности. На языке математики это звучит так: «Для любого эпсилон существует n, такое что…»