Когда мы заявляем, что места в зале кинотеатра пронумерованы, мы говорим о взаимно однозначном соответствии между подмножеством натуральных чисел и множеством кресел и сопоставляем каждому креслу число.

Мы уже показали, что множество целых чисел является счётным. Далее Кантор получил поистине удивительный результат: множество рациональных чисел 

также является счётным. Он доказал, что существует столько же рациональных чисел, сколько и натуральных. Чтобы установить соответствие между натуральными и рациональными числами, Кантор использовал настолько простую схему, что остаётся только удивляться, почему никто не сделал этого раньше. Возможно, причина в том, что никто не считал это возможным, так как это противоречит элементарной интуиции.

Схема, придуманная Кантором, такова. Нужно построить таблицу рациональных чисел (напомним, что речь идёт о дробях) следующим образом: в первой строке записываются дроби, числитель которых равен 1, во второй — дроби, числитель которых равен 2, в третьей — 3 и т. д. Вычеркнем из каждой строки повторяющиеся дроби. Например, 2/2 — это то же самое, что 1/1 или 3/3, 2/4 — то же, что и 1/2, и т. д. Построив таблицу, обойдём все числа в порядке, указанном стрелками, начиная с 1/1. Мы обойдём все рациональные числа ровно один раз. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между натуральными и рациональными числами устанавливается следующим образом:

1 → 1/1

2 → 1/2

3 → 2/1

4 → 3/1

5 → 1/3

…

Самое удивительное в том, что мы установили взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, одно из которых является дискретным (множество натуральных чисел), а другое — плотным (множество рациональных чисел).

Здесь бесконечность начинает понемногу приподнимать завесу тайны над своими удивительными загадками. Интуиция подсказывает, что счётными могут быть только дискретные множества, и тот факт, что плотное множество 

также является счётным, был поистине удивительным. Мы подсознательно ассоциируем счётность с возможностью найти следующий элемент для данного, что невозможно в плотном множестве. Если мы рассмотрим предыдущую таблицу, то увидим, что 1/1 является первым числом, а следующим будет 1/2. Однако множество дробных чисел является плотным, поэтому между 1/1 и 1/2 находится бесконечное множество чисел. Так, нам известно, что 1/4 находится между 1 и 1/2, а в нашем перечне это число занимает шестое место.

Буквы алфавита образуют ограниченное и, следовательно, счётное множество.

По этой причине с открытым Кантором понятием счётности оказалось тесно связано понятие непрерывности. Неизбежно возник вопрос: если расширить множество рациональных чисел иррациональными, будет ли полученное множество счётным?

Иными словами, можно ли говорить, что М — счётное множество?

Нет, это не так, и Кантор это доказал с помощью метода, схожего с тем, который он использовал при доказательстве счётности множества

, но намного более сложного. Также, используя метод доведения до абсурда, он показал, что множество (0, 1) всех вещественных чисел, заключённых между 0 и 1, не является счётным, следовательно, М также не может быть счётным. Таким образом Кантор создал серьёзный прецедент, сыгравший определяющую роль в математике XX века. Достаточно сказать, что этот прецедент стал частью доказательства знаменитой теоремы Гёделя о неполноте.

Больше чем бесконечность

Кантор знал, что ни вещественная прямая, ни какой-либо из её отрезков не являются счётными. Далее он совершил гигантский шаг и встретился с бесконечностью лицом к лицу.

Напомним, что для того чтобы получить множество вещественных чисел, необходимо добавить к множеству рациональных чисел множество иррациональных чисел, которые нельзя представить в виде частного двух целых. Множество вещественных чисел также является бесконечным и плотным. Однако оно не является счётным, в отличие от двух предыдущих, то есть этому множеству никоим образом нельзя поставить в соответствие ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, …

Поэтому Кантор сформулировал следующую задачу: имеются бесконечные множества, в каждом из которых число элементов одинаково, например множества натуральных, чётных или рациональных чисел. Однако в этом случае появляется новое множество вещественных чисел, которое также является бесконечным, но в нём больше элементов, чем в этих трёх множествах. Здесь Кантор вводит одну из самых революционных идей за всю историю математики: возможно, не все бесконечности одинаковы, а некоторые из них больше, чем другие? В качестве отправной точки он использовал бесконечное множество натуральных чисел. Затем он доказал, что множество вещественных чисел 

не является счётным и содержит больше элементов, чем , то есть больше, чем множества натуральных и рациональных чисел.

Кардинальное число множества 

он обозначил как алеф-один —  Так родился раздел математики, посвящённый трансфинитным числам.

ПРОВИДЕЦ ИЗ IX ВЕКА

Кантор знал, что — число

 точек, содержащихся на любом отрезке прямой.

Это означает, что вне зависимости от размера двух отрезков прямой число точек на них будет одинаковым. Может показаться удивительным, но очень простое доказательство этого утверждения было известно ещё древним грекам.