Даны два отрезка, а и b. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие между их точками, достаточно выполнить следующее построение. Соединим концы отрезков прямыми с и d, которые пересекутся в точке Е.

Выберем произвольную точку F отрезка а и соединим отрезком эту точку с точкой E — точкой пересечения прямых с и d. Точка G, в которой эта прямая пересечёт отрезок b, и будет искомым отображением точки F. Очевидно, что таким образом можно сопоставить каждой точке отрезка а точку отрезка b и наоборот. Это доказывает, что число точек на обоих отрезках одинаково.

Затем Кантор выполнил смертельный номер: взяв за основу один из этих отрезков, он построил квадрат

и смог доказать, что кардинальное число множества всех точек квадрата равно

, то есть число точек квадрата равно числу точек на любой его стороне. Затем он сделал ещё один шаг и, использовав этот квадрат в качестве основания, построил куб:

И вновь доказал, что число точек, содержащихся в кубе, также равно

.

«Я вижу это, но я в это не верю», — писал Кантор Дедекинду в 1877 году, пытаясь объяснить эти взаимно однозначные соответствия между фигурами, имеющими разное число измерений. Кантор доказал положение, противоречащее любым интуитивным и математическим представлениям о размерности: все одномерные, двумерные и трёхмерные объекты, с которыми он работал, содержали одно и то же число точек, равное

.

Это было невероятно, и этот результат означал, что на любом, сколь угодно малом, отрезке содержится столько же точек, сколько во всей известной Вселенной. Внутри бесконечно малого оказалось заключено нечто бесконечно большое.

В действительности дело этим не ограничивается: 

также равно числу точек в произвольном гиперпространстве. Иными словами, если бы мы могли проникать в пространства высших измерений (четырёх-, пятимерные пространства и т. д.),  означало бы число точек, содержащихся в этих пространствах.

Трансцендентные числа

Вы увидели, что множества 

(натуральных чисел),  (целых чисел) и  (рациональных чисел) содержат одинаковое число элементов (то есть являются равномощными) — бесконечное число, обозначенное Кантором как . Множество вещественных чисел получается, если расширить множество рациональных чисел иррациональными. Возникает вопрос: существует ли столько иррациональных чисел, чтобы общее количество вещественных чисел равнялось ?. Ответ на этот вопрос достаточно любопытен и не лишён таинственности. Однако чтобы понять его, сначала следует узнать о так называемых трансцендентных числах.

Уравнение одной переменной x степени n с рациональными коэффициентами — это равенство вида

C_nхⁿ + C_n−1хⁿ⁻¹ +… + C₁х + С₀ = 0.

Тому, кто не знаком с подобными выражениями, оно может показаться сложным, но это не так. В этом контексте уравнение — не более чем равенство, в левой части которого записаны слагаемые с неизвестным х, возведённым в некоторую степень и умноженным на некие числа (коэффициенты), а в правой части записан ноль. Решить уравнение означает найти такое значение x, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, в уравнении

х − 2 = 0

коэффициенты равны 1 и −2, а решением является х = 2.

Иррациональное число, например √2, является результатом решения уравнения вида

х² − 2 = 0.

По определению, число х является алгебраическим, если оно выступает корнем (решением) алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Проясним некоторые понятия, чтобы сделать это определение более понятным. Алгебраическое уравнение представляет собой многочлен, приравненный к нулю, например

3х² + 5х − 1 = 0,

где 3, 5 и −1 — коэффициенты. Выражение

√3х⁵ − 5х² = 0

также является уравнением, но его первый коэффициент не является целым числом, следовательно, это уравнение нельзя назвать алгебраическим.

Число 3 является алгебраическим, так как оно выступает решением уравнения

х − 3 = 0.

Очевидно, что любое рациональное число является алгебраическим, так как всегда можно записать алгебраическое уравнение, решением которого будет это число.

Как мы уже показали, √2 является решением уравнения х² − 2 = 0, и, следовательно, это также алгебраическое число.

Если число не является алгебраическим, его называют трансцендентным. Этот термин, введённый Эйлером, происходит от латинского transcendere — «превосходить» и означает, что вычисление таких чисел в некотором роде выходит за рамки привычных математических операций. Доказать трансцендентность числа порой очень и очень непросто. Французский математик Жозеф Лиувилль (1809–1882) доказал существование трансцендентных чисел и открыл метод, позволяющий получить некоторые из них. Первым числом, которое удостоилось чести быть помещённым в список трансцендентных, стало L (число Лиувилля), определение которого слишком сложно, чтобы приводить его здесь. Записывается оно следующим образом:

L = 0,1100010000000000000000010000…

В 1873 году французский математик Шарль Эрмит (1822–1901), ученик Лиувилля, доказал, что e (основание натурального логарифма, приближённое значение которого равно 2,718281828459043235360287471352…) не является алгебраическим числом. Получить это доказательство было непросто — оно не далось самому Эйлеру.

Одно из самых известных чисел в истории математики — это число π («пи»), равное отношению длины окружности к её диаметру. Доказательство трансцендентности е оказалось столь сложным, что Эрмит не решился взяться за аналогичное доказательство для числа π, о чём написал Карлу Вильгельму Борхардту (1817–1880): «Я не осмелился приступить к доказательству трансцендентности числа π. Если кто-то другой попытается это сделать, не будет человека счастливее меня, но поверьте мне, любезный друг, что это доказательство потребует немалых усилий».

Трансцендентность числа π была доказана Линдеманом лишь несколько лет спустя, в 1882 году. Это открытие стало важной вехой в истории математики, так как означало невозможность решения задачи о квадратуре круга.

Сегодня доказано, что трансцендентными являются числа е, π, е^π, 2^√2, sin(1), ln2, ln3/ln2 и некоторые другие, однако до сих пор остаётся открытым вопрос о трансцендентности таких чисел, как eⁱ, π^π и π^e. Известно, например, что по меньшей мере одно из двух чисел (возможно, оба сразу) π^e и π+e является трансцендентным, но доказать трансцендентность каждого их них по отдельности до сих пор не удалось. Трансцендентные числа — редкие создания, обнаружить их непросто. Это наводит на мысль о том, что таких чисел немного, но в действительности это совершенно не так: их много, очень много, бесконечно много и даже больше.