Кантор, как и всякий юноша, которому семейство разрешило заниматься любимым делом, чувствовал по отношению к родным глубокую благодарность. Некоторые биографы сходятся на том, что безоговорочное подчинение Кантора отцу стало одной из важнейших причин, по которой учёный всегда очень неуверенно чувствовал себя в университетских кругах.

В 1862 году он начал изучать математику, философию и физику в университете Цюриха, однако его обучение было недолгим: после смерти отца в июне 1863 года Кантор перевёлся в Берлинский университет. Интересно, что после этого он ни разу не упоминал об отце.

До начала XIX века центром математики была Франция, однако в годы юношества Кантора она уступила место Германии. Учителями Кантора были Кронекер, Куммер и Вейерштрасс. Кронекер, обучивший его азам теории чисел, впоследствии стал и самым суровым критиком идей учёного, но наибольшее влияние на Кантора оказал Вейерштрасс.

Большинство работ Кантора, изданных в тот период, были посвящены арифметике и алгебре. Летом 1866 года учёный вошёл в математические круги Гёттингенского университета — одного из престижнейших центров математики в Европе.

По возвращении в Берлин Кантор стал членом группы молодых математиков, которые каждую неделю собирались в баре, чтобы поговорить о своей работе в неформальной обстановке. В 1867 году Кантор защитил докторскую диссертацию, в которой подробно проанализировал «Арифметические исследования» Гаусса.

Во введении к его работе содержится фраза, выражающая неспокойный дух человека, который в будущем стал одним из самых заметных математиков в истории науки: «В математике искусство ставить задачи намного важнее, чем искусство решать их».

Защита докторской диссертации позволила Кантору занять должность приват-доцента в университете Галле. Жалование учёного напрямую зависело от числа студентов, посещавших его занятия, но Галле был небольшим городом близ Лейпцига, и университет здесь был гораздо менее престижным, чем Берлинский или Гёттингенский. Кантор понимал это, но никогда не пытался покинуть Галле и проработал там до конца жизни.

В 1873 году учёный впервые предположил возможность существования разных видов бесконечности. Он чувствовал, что между множеством натуральных чисел и множеством вещественных чисел могут существовать не только качественные, но и количественные различия. Качественные различия были ясны: множество натуральных чисел является счётным, а множество вещественных чисел — нет. Если бы кто-то смог доказать, что бесконечное множество вещественных чисел больше, чем бесконечное множество натуральных, это стало бы настоящим потрясением для математики в целом. Первое доказательство, сформулированное Кантором, было опубликовано в 1874 году в журнале Крелле. Следует учитывать, что в то время о множествах нельзя было говорить так свободно, как мы это делаем сейчас. Первая работа Кантора на эту тему вышла в 1878 году под названием «Вклад в теорию множеств» и также была опубликована в журнале Крелле. Статья содержала абсолютно неожиданные результаты, касавшиеся алгебраических чисел. В ней шли первые наброски идей о трансфинитных числах, и эта работа ознаменовала начало нового этапа в математике. Однако прежде чем идеи Кантора получили признание в научных кругах и он смог занять должность, позволявшую продолжить работу, ему пришлось преодолеть тернистый путь: некоторые математики, в том числе его бывший преподаватель Кронекер, активно выступили против Кантора и препятствовали его карьере, что было для учёного очень серьёзным потрясением.

Университет Галле, в котором Кантор преподавал начиная с 1872 года. Учёный прожил в этом маленьком немецком городе до самой смерти.

В 1826 году Август Леопольд Крелле (1780–1855) основал Journal fur die reine und angewandte Mathematik («Журнал о чистой и прикладной математике»). Его название указывало цель, к которой стремился основатель: восстановить единство математики, которая, в отличие от Средних веков или эпохи Возрождения, в то время была чётко разделена на два самостоятельных направления — чистую и прикладную. Впрочем, математические журналы — лишь один из видов научных журналов.

Первый научный журнал в истории был основан под эгидой Лондонского королевского общества и ознаменовал неизбежное: распространение научных публикаций и их характер отныне определяли научные общества. Если говорить о первых изданиях, посвящённых исключительно математике, в частности об «Анналах математики» Жергонна или журнале Крелле, то следует отметить несколько интересных моментов. Во-первых, объём публиковавшихся в них работ был меньше, чем в сборниках научных трудов. Во-вторых, в журналах не издавались старые тексты.

Обязательным условием публикации были новизна и оригинальность работы. Ещё одним интересным моментом стало то, что в этих журналах впервые стали выпускаться совместные работы, а не труды, выполненные исключительно силами одного учёного, как было до сих пор.

Джованни Баттиста Гуччиа

Основной целью математических сообществ был максимальный охват территории, регулярное издание математических журналов и предоставление необходимых для их распространения средств. Однако время показало, что без поддержки официальных учреждений решить эти задачи невозможно. Научные сообщества неизбежно попадали под определённое влияние общества и политических элит, так как они стали частью культурной идентичности государств. С одной стороны, правительственная поддержка научных сообществ очень важна, с другой — международное научное сотрудничество могло оказаться под угрозой по политическим причинам. Кроме того, органы, контролирующие допуск работ в печать, могли быть не так объективны, как этого хотелось учёным. Время показало, что математические сообщества препятствуют публикации некоторых новаторских работ, которые нарушают установленные каноны, не всегда имеющие отношение непосредственно к науке. Показательно, что две трети всех статей по математике, вышедших в 1900 году, были опубликованы не в математических журналах.

Среди первых научных сообществ, которые начали появляться уже в середине XIX века, наиболее важными (в порядке появления) были Московское математическое общество (1864), Лондонское математическое общество (1865), Французское математическое общество (1872), математический кружок Палермо (1884), Американское математическое общество (1888), Немецкое математическое общество (1890).