В наших суждениях мы говорим о разных величинах. Но ни одна величина не может быть точно выражена без помощи числа. Математика принимается за науку о величинах. Имеют смысл слова древних, что мир управляется числами (яснее, – Вселенная определяется числами).

Наши дома не обходятся без скреплений, наши одежды – без ниток. Математика проникает во все знания, как нитки во все одежды. Про какой бы отдел знания я ни говорил, подразумевается, что он более или менее прочно сшит математическими формулами – явными или подразумеваемыми.

Ни одна наука не закончена; и математика есть также начало чего-то беспредельного; она лишь начало нашей рассудочной способности. Ее основания очень просты и покоятся на таких, например, очевидных истинах, называемых аксиомами: если к равным величинам прибавим другие, равные между собою, то получим равные. Несомненно, что основы математического суждения лежат не только в свойствах нашего ума, но и в законах внешнего мира, в законах природы (да и самый ум наш создан законами природы). Играет, например, не малую роль закон сохранения вещества. Если бы его не было, то придавая к равным равные, мы могли бы не получить равные величины. Несмотря на простоту оснований, математика даже сама по себе есть беспредельное поле деятельности для пытливого человеческого ума. Ее вопросы нередко просты, ясны, определенны, но трудны и большею частью неразрешимы. Однако с веками она подвигается вперед.

Математика – могучее орудие ума. Знающий математику, средний или даже очень ограниченный человек, решит без затруднения вопросы, которые не под силу самому острому разуму, не вооруженному математикой.

Что математика есть врожденное, приобретенное от предков свойство ума и может не иметь обычных форм, видно из того, что и без знания математики можно решать легкие арифметические вопросы и несложные алгебраические. Жизнь и борьба за нее, торговля, промыслы, политика, земледелие, техника, искусства, – послужили главными основаниями для развития соображения, сметки, а следовательно и самой математики.

Время, пространство и материя (т. е. сила или энергия) – главные элементы нашего суждения.

Время есть одно из самых основных понятий человека, простейший элемент мышления, элемент природы. Ни один человек не может примириться с мыслью, что времени когда-нибудь не было или не будет. Наше чувство говорит нам, что время всегда существовало и будет существовать. Обратная мысль приводит к невозможно-нелепым выводам.

Время есть величина, простирающаяся от отрицательной бесконечности до положительной. Для выражения времени могут служить числа от нуля до бесконечно-большого положительного числа, и от пуля до бесконечно-большого отрицательного числа. Все известные нам промежутки времени, как бы громадны они не были, совершенно ничтожны в сравнении с суммою всех бывших и будущих времен, т. е. с бесконечностью. По отношению к ней они строго равны нулю.

Если бы мы взяли какое-нибудь громадное время, в течение которого, положим, мир развивался от более простого (хаос, туманная материя) состояния до теперешнего, то это время будет велико по отношению к нашей человеческой единице, например, к году или секунде. Пусть эта эволюция Вселенной продолжалась триллион лет (10¹²; французская система счисления); тогда, по отношению к секунде, это время выразится числом 3 × 10¹⁹. Обозначим это число через n. Вообразим другое время, в n раз большее, потом третий промежуток времени, еще в n раз больше. Также будем представлять себе промежутки времени, последовательно в n раз меньше. Получим ряд чисел, выражающих промежутки времени разной величины:

Каждое из этих времен чрезвычайно велико по отношению к последующему и очень мало по отношению к предыдущему. В пределе, когда n неограниченно возрастает, можем сказать, что каждый из бесчисленного множества членов этой прогрессии бесконечно мал по отношению к предыдущему члену и бесконечно велик по отношению к последующему.

Отсюда вывод: произвольно малый, в обыкновенном смысле, промежуток времени может считаться бесконечно большим и наоборот: продолжительное на наш человеческий взгляд развитие Вселенной может быть принято за одно мгновение. С другой стороны, в одно человеческое мгновение, может быть, решаются судьбы неизвестных нам бесконечно малых миров.

Заметим, что это рассуждение об относительном значении времени, справедливо и в применении ко всем величинам природы.

Довольно одного движения, чтобы сложной степенью выразить число 10^{10^10^10}, цифры которого, величиною каждая в кубический миллиметр, не вместятся во всей известной нам Вселенной, вмещающей миллионы миллиардов солнц. Пусть единицы этого грандиозного числа состоят из тысячелетий, и тогда оно совершенный и точный нуль в сравнении с бесконечностью протекших или будущих времен. Возведем это число в степень, равную самому числу, повторим это действие сколько угодно раз – и тогда получим, по отношению к сумме всего будущего или прошедшего времени, не больше нуля.

Мы говорили до сих пор про время объективное, которое существует для существа вечного, постоянного, ровноживущего. Оно определяется хронометром – часами. Но есть еще время субъективное. Оно то существует, то нет, то мчится быстро, то приостанавливается и едва ползет. Это время кажущееся, обманчивое; оно бесконечно разнообразно для разных существ. Для мертвых никакого времени, по всей вероятности, нет, пока они не ожили. Или для них время течет невыразимо быстро.

Время есть понятие более простое, чем пространство. Что мы можем сказать про объективное, часовое (хронометрическое) время, кроме того, что оно – время! Разве только то, что одно время в известное число раз больше, чем другое, – что оно, как и всякая величина, измеримо и простирается между бесконечными пределами. Все определения времени и рассуждения о нем не выдерживают критики и ничего не дают. Что, например, дает нам представление Минковского о времени, как о четвертом измерении!

Пространство – не то. Выделяя мысленно часть пространства, мы легко вообразим, что оно имеет ту или другую форму. Число форм, которые может в нашем представлении принять пространство, бесконечно, и каждая форма будет иметь свои свойства, свою поверхность и свой объем. Время относительно какого-либо его момента имеет только два направления – вперед и назад, пространство же относительно данной его точки – бесчисленное множество направлений.

Пространство также неопределимо, как и время. Я говорю только о том субъективном пространстве, которое мы познаем нашими органами чувств. Вопрос о пространстве абсолютном, т. е. о том, что в природе соответствует субъективному пространству, вопрос бесполезный, потому что неразрешимый: мы только одно понятие заменим другим, еще более темным, как и в определении времени, назвавши его четвертым измерением. На мой взгляд, время, пространство и материя (или сила, энергия) есть три элемента природы, на основании которых мы строим наши представления. Теперь принимают еще электричество, как одно из основных понятий. Но оно со временем будет, может быть, сведено к трем основным понятиям.

В настоящее время представление об электричестве принадлежит к понятиям наиболее туманным, сложным и неопределенным. Но оно при теперешнем состоянии науки не только полезно, но и необходимо, как научный двигатель.

Понятие о пространстве породило громадную науку, всю пропитанную математикой и названную геометрией, что и дает повод, как по и принято, причислять ее к чистой математике. Геометрия рассматривает линии, поверхности и тела. Она определяет их величину, форму и свойства. Укажу тут слегка только на громадную важность этого отдела познаний. Благодаря, главным образом, геометрическим понятиям, человек определил форму и размеры Земли. Географические познания о виде и величине стран, морей, рек и гор невозможны были бы без геометрии.