Что же касается собственно моих спецификаций, следует упомянуть еще один формальный момент. Представленный мною в §2.5вариант доказательства Гёделя(—Тьюринга) опирается не на непротиворечивость системы F, а на обоснованность алгоритма A, и являет собой критерий для установления незавершаемости вычислений (т.е. истинности Π ₁-высказываний). Этот вариант подходит нам ничуть не хуже любых других, поскольку известно, что из обоснованности алгоритма  Aследует истинность утверждения о незавершаемости вычисления C _k( k), каковое явное утверждение (тоже Π ₁-высказывание) мы имеем полное право использовать вместо высказывания G( F). Более того, как отмечалось выше (см. §2.8), доказательство, вообще говоря, зависит не от непротиворечивости формальной системы F, а от ее ω-непротиворечивости. Из обоснованности системы Fочевидно следует ее непротиворечивость, равно как и ω-непротиворечивость. Если допустить, что система Fобоснованна, то ни Ω( F), ни G( F) из ее правил (см. §2.8) не следуют, однако оба эти высказывания являются истинными.

Думаю, можно с уверенностью заключить, что какое бы «постепенное размывание» убежденности того или иного математика ни сопровождало переход от убеждения в обоснованности формальной системы Fк убеждению в истинности высказывания G( F) (или Ω( F)), оно будет целиком и полностью обусловлено возможностью ошибки в точной формулировке полученного им высказывания « G( F)». (To же применимо и к высказыванию Ω( F).) Все это не имеет непосредственного отношения к настоящему обсуждению — при наличии подлинной(не случайной) формулировки высказывания G( F) никакого размывания убежденности происходить не должно. Если формальная система Fнеопровержимо обоснованна, то еевысказывание G( F) столь же неопровержимо истинно. Все формы заключения  G( G**, G***) остаются неизменными при условии, что под «истинностью» подразумевается «неопровержимая истинность».

Полагаю, такая точка зрения весьма и весьма распространена среди практикующих математиков, особенно тех, кто не слишком углубляется в фундаментальные основы или философию своего предмета. Подобное отношение вполне естественно для людей, главной заботой которых является просто хорошее выполнение серьезной, пусть и математической, работы (хотя в действительноститакие люди крайне редко выражают свои результаты в рамках строгих правил формальных систем, подобных ZF). Согласно этой точке зрения, математика имеет дело лишь с тем, что можно доказать или опровергнуть в рамках некоей конкретной формальной системы — такой, например, как ZF(или какая-либо ее модификация ZF*). С высоты такой позиции математическая деятельность и в самом деле напоминает своего рода «игру». Назовем ее ZF- игрой(или ZF*-игрой), причем играть в эту игру следует в соответствии с правилами, установленными в рамках данной системы. Такой подход характерен для формалиста, подлинный же формалист мыслит исключительно в терминах ИСТИННОГО и ЛОЖНОГО, которые не обязательно совпадают с истинным и ложным в их повседневном смысле. Если формальная система обоснованна, то все, что является истинным, и будет истинным, а все, что ЛОЖНО, будет ложным. Однако наверняка найдутся высказывания, формализуемые в рамках данной системы, которые, будучи истинными, не являются ИСТИННЫМИ, и другие, которые, будучи ложными, не являются ЛОЖНЫМИ, иными словами, в обоих случаях эти высказывания оказываются НЕРАЗРЕШИМЫМИ. Если система ZFнепротиворечива, то в ZF-игре гёделевское высказывание [17] G( ZF) и его отрицание ~ G( ZF) принадлежат, соответственно, к этим двум категориям. (Более того, окажись система ZFпротиворечивой, то и высказывание G( ZF), и его отрицание ~ G( ZF) были бы ИСТИННЫМИ и ЛОЖНЫМИ одновременно!)

ZF-игра, судя по всему, представляет собой исключительно разумный подход, позволяющий реализовать большую часть того, что нас интересует в обычной математике. Однако по причинам, которые обозначены выше, я совершенно не в состоянии понять, каким же образом из нее может «произрасти» реальная точка зрения в отношении чьих бы то ни было математических убеждений. Ибо если кто-то считает, что с помощью «практикуемой» им математики он устанавливает исключительно подлинные математические истины — скажем, истинность Π ₁-высказываний, — то он должен верить и в то, что используемая им система обоснованна; а если он верит в ее обоснованность, то он должен также верить в ее непротиворечивость, то есть в то, что Π ₁-высказывание, утверждающее истинность G( F),  действительноистинно, несмотря на то, что оно НЕРАЗРЕШИМО. Таким образом, математические убеждения человека должны включать в себя нечто, что в рамках ZF-игры невыводимо. С другой стороны, если человек не верит в обоснованность формальной системы ZF, то он не может верить и в подлинную истинность ИСТИННЫХ результатов, полученных с помощью ZF-игры. В обоих случаях сама по себе ZF-игра не в состоянии снабдить нас удовлетворительной позицией в том, что касается математической истинности. (Это равным образом применимо к любой формальной системе ZF*.)

Хотя этот вопрос был достаточно исчерпывающе рассмотрен в предыдущих обсуждениях, я полагаю, что суть того рассмотрения полезно будет изложить еще раз, поскольку возражения, подобные Q15, чаще всего оказываются среди нападок на наше с Лукасом приложение теоремы Гёделя. Суть же в том, что мы вовсе не утверждаем, что высказывание G( F) непременно истинно для любой формальной системы F, мы утверждаем лишь, что высказывание G( F) настолько же достоверно, насколько достоверна любая другая истина, получаемая применением правил самой системы F. (Вообще говоря, высказывание G( F) оказывается болеедостоверным, нежели утверждения, получаемые действительным применениемправил F, так как система F, даже будучинепротиворечивой, не обязательно будет обоснованной!) Если мы верим в истинность любого утверждения P, выводимого исключительно с помощью правил системы F, то мы должны верить и в истинность G( F), по крайней мере, в той же степени, в какой мы верим в истинность P. Таким образом, ни одна постижимая формальная система F— или эквивалентный ей алгоритм F— не может послужить абсолютно полной основой для подлинного математического познания или формирования убеждений. Как отмечалось в комментариях к Q5и Q6, наше доказательство построено как reductio ad absurdum: мы выдвигаем предположение, что система Fдействительно является абсолютной основой для формирования убеждений, а затем показываем, что такое предположение приводит к противоречию, т.е. является неверным.