Мы, конечно же, можем, как в Q14, выбрать для удобства какую-то конкретную систему F, хотя уверенности в том, что она обоснованна, а потому непротиворечива, это нам не добавит. Впрочем, при наличии действительныхсомнений в обоснованности системы Fлюбой получаемый в рамках Fрезультат  P следует формулировать в виде

(или, что то же самое, «высказывание  PИСТИННО»), избегая утверждений вида «высказывание  Pистинно». Такое утверждение в математическом смысле вполне приемлемо и может быть либо действительно истинным, либо действительно ложным. Совершенно законным образом мы можем свести все наши математические высказывания к утверждениям такого рода, однако и в этом случае нам никуда не деться от утверждений об абсолютных математических истинах. При случае мы можем прийти к убеждению, будто мы установили, что какое-то утверждение вышеприведенного вида является в действительности ложным, т.е. получить следующий результат:

Такие утверждения имеют вид: «такое-то вычисление не завершается» (или, по сути, «будучи примененным к высказыванию P, алгоритм Fне завершается»), что в точности совпадает с формой рассматриваемых нами Π ₁-высказываний. Вопрос: какие средства мы полагаем допустимыми в процессе получения подобных утверждений? Каковы, наконец, те математические процедуры, в которые мы действительно верими применяем при установлении математических истин? Такая система убеждений, при условии, что они достаточно разумны, никак не может быть  эквивалентнавсего лишь убежденности в обоснованности и непротиворечивости формальной системы, какой бы эта формальная система ни была.

В самом деле, конечного аксиоматического способа убедиться в том, что «числа», о которых идет речь, и есть те самые подразумеваемые натуральныечисла, а не какие-то посторонние «сверхнатуральные», не существует ^{33} . Однако, в некотором смысле, в этом и состоит вся суть гёделевского рассуждения. Неважно, какую именно схему аксиом формальной системы Fмы построим, пытаясь охарактеризовать натуральные числа, — одних лишь правил системы Fбудет недостаточно, чтобы определить, является ли высказывание G( F) действительно истинным или же ложным. Полагая систему Fнепротиворечивой, мы знаем, что в высказывании G( F) подразумеваетсявсе же наличие некоего истинного смысла. Это, однако, происходит лишь в том случае, если символы, составляющие в действительности формальное выражение, обозначаемое « G( F)», имеют подразумеваемые значения. Если эти символы интерпретировать как-либо иначе, то полученная в результате интерпретация « G( F)» вполне может оказаться ложной.

Для того чтобы разобраться, откуда берутся все эти двусмысленности, рассмотрим новые формальные системы F* и F**, где F* получается путем присоединения к аксиомам системы Fвысказывания G( F), a F** — путем аналогичного присоединения высказывания ~ G( F). Если система Fобоснованна, то обе системы F* и F** непротиворечивы (т.к. высказывание G( F) истинно, а ~ G( F) из правил системы F) вывести невозможно. При этом в случае подразумеваемой (или стандартной) интерпретации символов Fиз обоснованности системы F следует, что система F* обоснованна, а система F** — нет. Впрочем, одним из характерных свойств непротиворечивых формальных систем является возможность отыскания так называемых нестандартныхреинтерпретаций символов таким образом, что высказывания, которые являются ложными в стандартной интерпретации, оказываются истинными в нестандартной; соответственно, в такой нестандартной интерпретации обоснованными могут быть системы Fи F**, а система F* обоснованной не будет. Можно вообразить, что такая реинтерпретация может повлиять на смысл логических символов (таких как «~» и «&», которые в стандартной интерпретации означают, соответственно, «не» и «и»), однако в данном случае нас занимают символы, обозначающие неопределенные числа (« x», « y», « z», « x'», « x"» и т.д.), и значения применяемых к ним логических кванторов (∀, ∃). В стандартной интерпретации символы «∀ x» и «∃ x» означают, соответственно, «для всех натуральных чисел x» и «существует такое натуральное число x, что»; в нестандартной же интерпретации эти символы могут относится не к натуральным числам, а к числам какого-то иного вида с иными свойствами упорядочения (такие числа действительно можно назвать «сверхнатуральными», или даже «ультранатуральными», как это сделал Хофштадтер [ 201]).

Дело, однако, в том, что мы-то знаем, что такое на самом деле представляют собой натуральные числа, и для нас не составит никакого труда отличить их от каких-то непонятных сверхнатуральных чисел. Натуральные числа суть самые обыденные вещи, обозначаемые, как правило, символами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. С этой концепцией мы знакомимся еще в детском возрасте и легко отличим ее от надуманной концепции сверхнатурального числа (см. §1.21). Есть что-то таинственное в том, что мы, похоже, и впрямь обладаем каким-то инстинктивным пониманием действительного смысла понятия натурального числа. Все, что мы получаем в этом смысле в детском (или уже взрослом) возрасте, сводится к сравнительно небольшому количеству описаний понятий «нуля», «единицы», «двух», «трех» и т.д. («три апельсина», «один банан» и т.п.), однако при этом, несмотря на всю неадекватность такого описания, мы как-то умудряемся постичь всю концепцию в целом. В некотором платоническом смысле натуральные числа видятся своего рода категориями, обладающими абсолютным концептуальным существованием, от нас никак не зависящим. И все же, несмотря на «человеконезависимость» натуральных чисел, мы оказываемся способны установить интеллектуальную связь с действительной концепцией натуральных чисел, опираясь лишь на неоднозначные и, на первый взгляд, неадекватные описания. С другой стороны, не существует конечного набора аксиом, с помощью которого можно было бы провести четкую границу между множеством натуральных чисел и альтернативным ему множеством так называемых «сверхнатуральных» чисел.

Более того, такое специфическое свойство всей совокупности натуральных чисел, как их бесконечное количество, мы также можем каким-то образом воспринимать непосредственно, тогда как система, действие которой ограничено точными конечными правилами, не способна отличить данную конкретную бесконечность натуральных чисел от других возможных («сверхнатуральных») вариантов. Мы же легко понимаем бесконечность, характеризующую натуральные числа, пусть и обозначаем ее просто точками «…» —

либо сокращением «и т.д.» —