(х + iy) (cos φ + i sin φ) = x' + iy',

откуда мы получаем такие равенства:

х' = х cos φ — у sin φ

у' = х sin φ + у cos φ.

Отсюда легко видеть, что координаты нового вектора суть не что иное, как преобразованные координаты первого век-

— 412 —

тора. При этом они преобразованы так, что мы получаем очень простые (линейные) соотношения, куда не входят никакие иные степени, кроме первой. Все это можно коротко записать в виде так называемой матрицы преобразования:

Первая строка матрицы указывает, на что надо умножить х и у первого вектора, чтобы при помощи сложения получить x' второго; вторая строка дает то же самое для того, чтобы получить у' второго. Таким образом (с некоторым усложнением, разумеется) можно делать и гораздо более сложные преобразования, например, превратить круг в эллипс, растянувши его в направлении одной из осей. В дальнейшем из этого вырастает целая «арифметика матриц», в некоторых случаях очень близкая к арифметике комплексных чисел. Все это в современной математике имеет серьезное значение. Так что наш знаменитый Кот в сапогах (имейте это в виду, мой дорогой юноша!) — это довольно-таки важная персона, особенно в наше время. Вот что я вам доложу!

— 413 —

особенно примечательна тем, что в ней наш доблестный путешественник знакомится с историей мнимых человечков, узнает, что произошло в городе Болонья в XVI веке, как павиан умеет бросать камни, и что об этом думали математики. Илюша в этой схолии не раз попадает в затруднительное положение, и только — его закадычные друзья спасают его от снежной бури, а затем Илюша снова встречает своего старого знакомого Дразнилку, который и помогает нашему герою решить трудную задачу.

Голубоватое поблескивание откуда-то сбоку неожиданно оказалось снова симпатичной фигуркой Мнимия Радиксовича.

Он очень любезно улыбнулся и заметил:

— Чудесные звезды, не правда ли?

— Мне очень хотелось бы, — сказал Илюша, — чтобы вы еще как-нибудь показали мне подробно, как вы, мнимые человечки, возникаете из квадратного уравнения?

— Вы ведь знаете, — начал свой рассказ Мнимий, — что, когда квадратное уравнение «не решается», мы получаем два комплексных корня, причем они таковы, что действительные части их равны, а мнимые отличаются по знаку:

а + bi; а — bi.

Такие комплексные числа называются сопряженными.

Сопряженные комплексные числа обладают одним замечатель-

— 414 —

ным свойством: их сумма так же, как и их произведение, является действительными числами. Это нетрудно проверить!

— Знаю! — откликнулся Илья. — Я уж пробовал. Мне кажется, как будто, что при перемножении мнимых чисел разные знаки дают плюс, а одинаковые минус…

— Ученые, — продолжал Мнимий, — сперва, в семнадцатом веке, догадались, а через два века и доказали, что если принимать в расчет все корни уравнения, и действительные и комплексные, то вместе их будет всегда столько же, сколько единиц в показателе степени старшего члена уравнения. Это положение, чрезвычайно важное для алгебры, обычно называется основной теоремой алгебры[34]. Попутно выяснилось, что комплексных корней всегда бывает четное число, и у каждого такого корня имеется сопряженный комплексный корень. А то, что вы хотите узнать, можно показать на геометрическом примере. Сначала мы возьмем обычную декартову плоскость, затем еще одну, которая будет комплексной, и она же будет полупрозрачной… А вы, юноша, дайте мне квадратное уравнение поудобней!

— Пожалуйста! — не задумываясь, ответил наш герой, —

х² — 8х + 15 = 0.

Три и пять. Лучше не придумаешь.

— Сойдет, — ответил Мнимий. — Дальше так: пусть перед нами встанет первая плоскость, на ней оси деления и парабола. А комплексная плоскость пусть станет перед первой вплотную. Она полупрозрачная, и через нее мы отлично увидим первую.

Так все и случилось. Сперва возникла обычная плоскость, причем ось абсцисс была голубая, а ось ординат розовая, потом возникла и темно-синяя парабола. А на делениях (+3) и (+5), там, где были корни квадратного уравнения, где парабола пересекла ось абсцисс, ярко горели две блестящие оранжевые точки.

— Вот и корни! — сказал Илюша.

— А теперь мы сотворим и комплексную.

И действительно, тут же, поправей, возникла еще одна плоскость, не очень заметная, матовая. На ней были тоже две взаимно перпендикулярные оса, действительная и мнимая,

— 415 —

только они были совсем тоненькие. В начале координат сияла зеленая точка.

— Подвиньтесь! — вежливо попросил Мнимий.

И тут комплексная плоскость подвинулась налево и стала так аккуратно, что оси на том и на другом чертеже почти слились (они ведь были в одном масштабе!), но все было очень хорошо видно через вторую полупрозрачную плоскость.

— А зеленая точка на нуле, — сообразил мальчик, — означает, что ничего мнимого пока еще нет?

— По-видимому, так… — раздался торжественный шепот прямо из самого экрана: волшебные чертежи, оказывается, отлично умеют говорить!

— Итак, — продолжал Мнимий, — следите за мной хорошенько, и вскоре все станет ясно. Вот перед вами парабола! Она, как вы знаете, прекрасная гречанка, и от роду ей очень много лет. Для того чтобы все было не так хитро, мы будем рассматривать ее в таком виде, что коэффициент при иксе во второй степени будет равен единице.

— То есть, — подхватил Илья, — мы берем выражение

ах² + bх + с

и делим все члены на а.

Теперь перед Илюшей сиял график квадратного трехчлена, то есть чертеж параболы, обращенной вершиной вниз, ее ось стояла вертикально, и вершина параболы была ниже оси абсцисс (которая, как мы знаем, горизонтальная). Парабола пересекала ось абсцисс дважды. Недалеко засветилось и само уравнение:

х² — 8х+ 15 = 0.

— А какие у нас корни? — спросил Мнимий.

— Два действительных корня, потому что парабола пересекает ось абсцисс два раза, — отвечал мальчик.

— Справедливо. Теперь я попрошу параболу подняться немножко повыше.

Парабола охотно послушалась, и две оранжевые точки на горизонталях стали сближаться; и вот уже вершина параболы только касалась оси абсцисс в одной точке. Две оранжевые точки сошлись в одну.

— А теперь? — спросил Мнимий.

Рядом уже светилось и уравнение:

х² — 8х + 16 = 0.

— А теперь, — отвечал Илья, — два одинаковых действительных корня, оба равны (+4).

— 416 —

— Так. Согласен. Попрошу еще вверх немного.

Послушная парабола согласилась и на это. И теперь вся она поднялась выше оси абсцисс, не касаясь ее. Вершина параболы по-прежнему висела над делением оси абсцисс, равным четырем. Однако как только вершина параболы вздумала оторваться от горизонтали, немедленно оси на полупрозрачной комплексной плоскости стали еще ярче, а зеленая точка в начале координат вспыхнула посветлее. Едва лишь горизонталь и вершина параболы расстались друг с другом, эта точка немедленно раздвоилась. И теперь уже две зеленые точки медленно поползли: одна вверх по мнимой оси, а другая по той же оси вниз. Затем обе эти точки остановились против деления три, только одна стояла против (+3), а другая против (—3).