— 320 —

многоугольников. Она меньше первого и больше второго. И оба стремятся к ней. Поэтому можно проверять одно приближенное решение при помощи другого и установить границы, между которыми лежит искомая величина, наподобие того, как Архимед установил, что правильное значение корня квадратного из трех лежит между двумя неправильными дробями.

265/153 и 1351/780

(если взять корень из трех с точностью до семи десятичных знаков, то есть до одной десятимиллионной, то первая дробь дает значение корня из трех с недостатком в 247 десятимиллионных, а вторая с избытком в пять десятимиллионных). Архимед, кстати, при вычислении длины окружности пользовался вписанным и описанным многоугольниками с девяноста шестью сторонами. Однако это касается уже самого вычисления, и там, разумеется, ты волен остановиться на таком приближении, которое кажется нужным. А выкладки дают способ вычисления. А какая нужна точность в каждом данном случае — это уже дело твое. Повторим теперь еще раз знакомый нам из древности пример убывающей геометрической прогрессии. Пусть ее первый член будет равен единице, а знаменатель — половине. Тогда предел, к которому стремится ее сумма, будет равен двум целым. И это очень легко заметить. Вот эта прогрессия:

Теперь запишем последовательные суммы:

— 321 —

Но

откуда ясно, что каждый следующий член этого ряда сумм будет все ближе и ближе к двойке.

— Да-да! — сказал Илюша. — Вот как раз именно так мы с Радиксом делили яблочко в Схолии Двенадцатой. Я сразу сейчас вспомнил.

— Вот именно. Однако самый процесс разыскания пределов отнюдь не так-то прост, и в нем очень легко ошибиться.

Например, не во всякой геометрической прогрессии сумма имеет предел. Если взять геометрическую прогрессию с первым членом, равным единице, а знаменателем минус единице, то получим следующий ряд:

1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — …

Попробуем вычислить сумму такого ряда. Если я напишу ряд в таком виде:

S = (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + …

то очевидно, что сумма его равняется нулю. Однако стоит его изобразить иначе:

S = 1 — (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) + …

и получится в сумме не нуль, а единица! Но я могу придумать еще одно начертание:

S = 1 — ( 1 — 1 + 1 — 1 + 1 -…),

и тогда сумма S будет, очевидно,

S= 1 — S.

— 322 —

Получающееся уравнение, как ты видишь, решить нетрудно, но в таком случае сумма равняется уже и не единице и не нулю, а просто половине! Из ряда подобных «вычислений» можно заключить, что о сумме такого ряда говорить в том же смысле, в каком мы говорим о сумме конечного числа членов, невозможно. Математики бились с этим рядом очень долго, пока не убедились наконец, что прежде чем говорить о сумме бесконечного ряда, надо сперва точно определить, что следует понимать под этими словами. В данном случае то общее определение, согласно которому мы под суммой бесконечного ряда

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …

понимали рассмотренный выше предел, то есть двойку, нам совершенно не подходит, так как последовательные суммы нового ряда попеременно равны то единице, то нулю, и ни к какому пределу не стремятся.

Надо найти площадь АВСО. Сумма площадей прямоугольников, начерченных сплошными линиями, будет меньше искомой площади; эта же сумма с добавлением площадей пунктирных прямоугольников будет больше искомой площади. Но если число прямоугольников бесконечно увеличивать, то основания их станут бесконечно малыми и как сумма «входящих», так и сумма «охватывающих» прямоугольников будут обе бесконечно приближаться к искомой площади и в пределе будут ей равны.

В этом смысле мы можем теперь сказать, что такой ряд вовсе не имеет суммы, а следовательно, все рассуждения о том, «чему же равно выражение 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — … и так далее до бесконечности», просто бессмысленны. Так вот, если ты установил, что можешь миновать такого рода трудности, то можно пользоваться этим в высшей степени удобным способом. То, что я тебе изложил, в целом есть завоевание уже гораздо более поздних времен. Самый вопрос о бесконечно малых и о пределах настолько сложен, что греки не смогли с ним справиться. Против деления площадей и объемов на бесконечно малые составляющие было выдвинуто очень много возражений, и некоторые из них казались вполне основательными. Говорили, например, что из

— 323 —

целой массы величин, которые почти не отличаются от нуля, нельзя составить конечной величины — «из ничего и выйдет ничего».

— Да, — сказал Илюша, — а ведь это очень похоже на правду!

— Похоже, конечно, — отвечал Радикс, — но есть одно обстоятельство, которое это правдоподобие нарушает. Если взять бесконечно малую величину и повторять ее слагаемым конечное число раз, то, несомненно, получится снова величина бесконечно малая. Но если рассматривать сумму неограниченно возрастающего числа бесконечно малых, то нельзя ручаться, что будет величина бесконечно малая. То есть в одном случае окажется нуль, но в иных можно получить некоторую конечную величину, отличную от нуля. Разумеется, все это должно делать обдуманно и с рядом самых серьезных предосторожностей. Кстати сказать, Паскаль на упрек, выраженный в фразе «из ничего и выйдет ничего», отвечал, что он вовсе не суммирует нули, а разбивает некоторую конечную величину, которая ему дана. Такое разбиение отнюдь не равнозначно уничтожению этой величины.

— Вот именно, — сказал Коникос. — Но такие подробности, в данном случае очень важные, ускользали от внимания древних математиков. И тем не менее начало этого дела было ими положено. А в дальнейшем Архимед, опираясь на работу Демокрита и других развил этот способ. Он нашел площадь сегмента параболы, поверхности шара, сумму квадратов натурального ряда и сделал еще немало других открытий. Историки рассказывают, что он до того был предан геометрии, что его слугам приходилось чуть не насильно отрывать его от занятий и кормить. Он был убит при взятии города Сиракузы римлянами. Говорят, будто это произошло случайно, что предводитель римского войска Марцелл отдал даже особый приказ пощадить великого ученого. Архимед много помогал своим согражданам при осаде города Сиракузы, организовав всю защиту своего родного города.

— А правда, что он сжег римский флот при помощи каких-то особенных зеркал? — спросил Илюша.

— Нет! — отвечал Радикс. — Это сказка, которую выдумали в средние века. Уже Кеплер смеялся над ней. Зеркалом, разумеется, можно зажечь дерево, но для того, чтобы на расстоянии километра это сделать, надо изготовить зеркало диаметром в полкилометра… Вот этот-то Марцелл и назвал Архимеда «Бриареем геометрии», сравнив его со сказочным сторуким чудовищем.

— А как же называется этот способ вычисления площадей фигур вроде параболы и тому подобных?

— 324 —

— Ты хочешь сказать «площадей криволинейных фигур»?

Этот способ теперь в математике называется интегрированием.

Вдруг все замолчали, напряженно вглядываясь во что-то, что было за спиной Илюши.

Мальчик обернулся и увидел громадную тень Великого Змия, повисшую в воздухе.

— 325 —

где выясняется, какие прекрасные математические плоды нашел однажды астроном Кеплер. Затем Радикс знакомит Илюшу поближе с его старой приятельницей касательной, и тут он узнает, что эта линия является волшебницей, умеющей делать самые настоящие чудеса, а кроме того, объясняются некоторые необъяснимости, как, например, почему Илюша не может закинуть камень в 20 граммов весом за полкилометра, хотя, согласно тройному правилу, это вполне возможно. Дальше выясняется, как наконец подружились Кеплер и Галилей с Аполлонием и Архимедом, кто мешал этой дружбе, и что из этого получилось, и как после этого Исаак Ньютон пришел с простыми и умными гипотезами и со своим «микроскопом» в царство тех могущественных карликов, которых мы называем бесконечно малыми, и как они научили людей познавать законы природы.