— Случайных? — с удивлением сказал Илюша. — А что может в математике делать случайность?

— С какой-нибудь отдельной случайностью, разумеется, нам в математике делать нечего, но когда мы имеем дело с массовым явлением, целым комплексом случайных явлений, тогда уже совсем другое дело. Самый простой пример такой массы явлений — это ошибки измерения. Измерить какую-нибудь величину для астронома дело не простое, измерения производятся помногу раз и разными лицами. Ученые принимают все доступные меры, чтобы в их измерениях не было постоянно а ошибки, которая вызывается какой-либо определенной причиной, но со случайными ошибками управиться труднее. Однако и рассуждение и опыт говорят нам, что если для ошибок у нас нет никаких постоянно действующих в одном и том же направлении причин, то они будут беспорядочно изменять наши наблюдения то в одну сторону (скажем, в сторону «плюс»), то в другую (пусть это будет «минус»), и нет оснований для того, чтобы отклонения в одну сторону были систематически больше или встречались чаще, чем отклонения в другую. А если все это так, то разумно допустить, что наиболее близкая, по всей вероятности, к истинной искомая величина, которую мы измеряем, будет нами найдена в предположении, что наши случайные погрешности взаимно погашают друг друга. Если перевести все это рассуждение на математический язык, то мы получим в ответ от наших друзей, бесконечно малых, что при таких обстоятельствах и некоторых несложных допущениях искомая истинная величина совпадает со средней арифметической из целой массы наблюдений. Этот пример, конечно, не более как пример; было бы очень странно, если бы, опираясь на это, мы измерили рост каждого бойца в целом пехотном полку и затем вздумали утверждать, что это неверно, будто в этом полку есть и. высокие и низкие солдаты, нет, дескать, там все одного роста, точь-в-точь такого, как наша вычисленная средняя! Нет, мы говорим в таком случае, что средняя есть просто некоторая сводная характеристика этого коллектива, и не более того. Впрочем, мы нередко можем охарактеризовать наш коллектив и гораздо более подробно, то есть указать (а иной раз даже и предска-

— 466 —

зать), насколько в общем будут отклоняться наши данные от средней или даже сколько и каких отклонений от средней там будет наблюдаться. Итак, если я имею дело с массовым явлением, я имею возможность вычислить результаты некоторых случайных явлений. Допустим, ты подбрасываешь монету. У нее две стороны. Та, на которой отчеканен герб, обычно называют «орлом», а другую сторону — «решкой». Какова вероятность того, что монета упадет гербом вверх?

— Может быть и то и другое, — отвечал Илюша. — На ребро монета стать не может.

— Правильно. Вот математик и говорит, что поскольку это так, то вероятность выпадения «орла» или «решки» равносильна полной достоверности, то есть ничего другого выпасть не может. А что именно выпадет в данный момент, сказать трудно. Если бросать много раз, то они, в общем, должны выпасть в одинаковом количестве. Известный французский естествоиспытатель Бюффон в свое время проделал такой опыт: он бросил монету четыре тысячи сорок раз. «Орел» выпал две тысячи сорок восемь раз, а «решка» — тысяча девятьсот девяносто два раза. Полной точности в равенстве этих чисел, конечно, нельзя ожидать, ибо на белом свете не бывает математически точных монет, но в процентном отношении получилось довольно хорошо; пятьдесят и семь десятых процента и сорок девять и три десятых процента. Если принять полную достоверность за единицу, вероятность выпадения «орла» равна половине, «решки» — тоже половине. Понятно?

— Понятно.

— Представь себе теперь, что ты бросаешь две монетки. Какова вероятность того, что у тебя выпадут два «орла»? Попробуем усложнить нашу задачу.

— Половина, — отвечал Илюша. — Не все ли равно, сколько монеток?

— Вот то-то, что не все равно! — отвечал, усмехнувшись, Радикс.

— Давай-ка сосчитаем. У тебя две монетки — первая и вторая. Какие могут быть случаи? Во-первых, обе монетки выпадут «орлами», во-вторых — обе «решками», в-третьих — первая «орлом», а вторая «решкой»…

— Ах да! — воскликнул Илюша.

— В-четвертых — первая «решкой», вторая «орлом». Значит, всего может быть четыре комбинации, совершенно равноправные, а отсюда мы заключаем, что вероятность выпадения двух «орлов» при бросании двух монеток равна не половине, а только четверти. А зато вероятность выпадения и «орла» и «решки» сразу равна половине, ибо ты не нумеруешь монетки, а подсчитываешь просто общий результат. Чем больше брать монеток, тем расчеты эти делаются все сложнее и сложнее.

— 467 —

Если возьмем три монетки, то будут такие комбинации (я буду отмечать «орла» буквой «О», а «решку» буквой «Р»):

Всего восемь комбинаций. Теперь вероятность выпадения трех «орлов» равна одной восьмой, двух «орлов» — трем восьмым, одного «орла» — тоже трем восьмым. Вероятность того, что ни одного «орла» не будет, равна снова одной восьмой. Числители этих дробей будут: 1—3—3—1, а знаменатель равен их сумме. Одна восьмая — это половина в третьей степени, а числители эти равны коэффициентам при разложении куба суммы. Вот почему эти числа имеют отношение к треугольнику Паскаля. Эти соотношения заметил и указал еще Тарталья, который жил лет за сто до Паскаля.

— Это все ужасно интересно!

— Подобные задачи возникают во многих науках, в частности, и в физике, когда дело касается, например, движения молекул газа. И этим способом разрешают важные и очень сложные проблемы самого разнообразного характера, начиная от контроля при производстве электролампочек или разведения новых пород злаков и кончая самыми трудными проблемами атомной физики. Понятно?

— Как будто я немного понял. Я слышал, как говорят, что «по теории вероятностей» должно случиться то или иное, но я думал, что это шутка.

— Когда шутка, а когда и нет…

— А что такое рассеяние отдельных случаев вокруг средней? Я слышал, но не понимаю — оно не всегда одинаковое?

— Нет, — отвечал Радикс, — конечно, не всегда. Очень легко найти пример двух совокупностей, или распределений, случайных явлений, у которых средняя будет одна и та же, а колебания случайностей вокруг нее будут разными. Представь себе, что на одной географической широте лежат две области, средняя годовая температура которых совпадает. Однако первая область представляет собой остров на море, а другая — часть пустыни среди громадного материка. Ясно, что климат второй области будет резко континентальным, то есть будет характеризоваться резкими колебаниями от жары к морозу, тогда как температура на острове будет сравнительно ровной.

— Ясно, — сказал Илюша. — Мне только не совсем понят-

— 468 —

но, почему температура относится к разряду случайных явлений. Разве можно температуру считать случайностью?

— Я не говорил, что температура есть явление случайного характера. Однако теория вероятностей занимается не только явлениями в точности случайного порядка, как, например, движение молекул раскаленного газа, диффузия и тому подобное; в ее ведении находятся и многие другие явления, где существо той или иной закономерности проявляется не с такой точностью, которую мы наблюдаем в соотношениях абсциссы и ординаты параболы, например, а с некоторыми колебаниями, или рассеянием.

— Значит, — сказал Илюша, — рассеяние может наблюдаться не только вокруг средней, но и вокруг некоторой кривой?

— Разумеется. Вот тебе простой пример. Урожай зависит от осадков. Если осадков будет мало, то есть будет засуха, то хлеба засохнут и урожай будет плохой. Но если осадков будет слишком много, то хлеба начнут гнить на корню и урожай тоже будет неважный. Следовательно, урожай поднимается от нуля вместе с осадками, увеличивается, доходит до максимума, когда осадков выпадает столько, сколько нужно, а затем, если осадков выпадает еще больше, то урожай уже начинает падать. Эту зависимость урожая от осадков нельзя в точности выразить какой-либо кривой (прежде всего потому, что ведь урожай зависит не только от осадков, а еще от целого ряда причин), но приблизительно можно изобразить или выразить хотя бы, например, той же параболой. Для такого примерного выражения (или апроксимации) есть свои способы. Особое свойство таких связей или зависимостей заключается в том, что вокруг некоторой основной тенденции наблюдаются более или менее интенсивные колебания, в силу чего такие зависимости (корреляционные, как у нас говорится) точно выражены быть нe могут и справедливы лишь в общем, в среднем. Только эта «средняя» в данном случае не постоянная, а переменная. Вот как… А кстати, знаешь ли ты конец знаменитой истории насчет мартышки и очков?