Человечек Знаменатель глянул мельком на Илюшу и, заметив, что тот все понял, даже не счел нужным кивнуть ему.

Затем он поднял свой длиннейший указательный палец правой руки вверх, покачал им торжественно, как бы приглашая Илюшу отнестись повнимательнее к тому, что он сейчас ему покажет. После этого он взял три первых члена из скобок, поставил их перед Илюшей и снова заключил в скобки.

(1 + q + q²)

Затем Знаменатель показал Илюше на эту тройку знаков и выразил на своем лице некое недоумение, как бы приглашая

— 193 —

Илюшу объяснить: что он перед ним поставил? Илюша посмотрел на него, потом на троих человечков и ничего не мог придумать. Знаменатель недовольно нахмурился, сделал знак человечкам, и тогда первый и третий поменялись местами. Знаменатель снова сделал недоуменную мину и опять показал Илюше на тройку приятелей. Илюша посмотрел. Перед ним стояло:

(q² + q + 1)

Это было то же самое, только два члена выражения поменялись местами.

«Э! — подумал Илюша. — Да это просто неполный квадрат суммы!»

Не успел он это подумать, как вдруг откуда-то раздалось ядовитое хихиканье, и слишком хорошо ему известный голосок вездесущего Уникурсала Уникурсалыча произнес очень отчетливо:

— Ах, какой догадливый мальчик! А до того, как переставили, это, значит, не было неполным квадратом суммы? Вон как!

Илюша густо покраснел, хотел было что-то ответить, но не мог придумать ничего дельного, а человечек Знаменатель радостно закивал ему в знак согласия, немедленно вычел из самого себя единицу, залез в скобки, и перед Илюшей появилось:

(q² + q + 1) (q — 1) = ?

«Неполный квадрат суммы, — подумал Илюша, — если его умножить на разность первых степеней, будет равен разности кубов. Все ясно. Но к чему это он ведет?»

Человечек Знаменатель хитро подмигнул Илюше, как бы говоря: «Сейчас узнаешь!» — и перед мальчиком появилось:

(q² + q + 1) (q — 1) = q³ — 1.

«Ну конечно!» — подумал Илюша. Затем скобки немного раздвинулись, в них забрался еще человечек. Теперь получилось:

(q³ + q² + q + 1) (q — 1) = q⁴ — 1.

«Ишь ты! — подумал Илюша. — Как же так выходит?» Но когда он попробовал в уме перемножить скобки левой части, то убедился, что как раз так и получается. «Действительно, — подумал он, — когда я умножу q³ на q, то выйдет q⁴; когда умножу 1 на (— 1), то получится —1, а все остальное взаимно уничтожается, потому что от умножения на q всех членов,

— 194 —

 кроме первого, я получу q³, q², q и все будут с плюсом, от умножения на (—1) всех членов, кроме последнего, я получу те же q³, q², q, но все будут с минусами. Значит, только и останется q⁴ и — 1. Все верно!»

Тогда в скобки влез еще один человечек, и вышло:

(q⁴ + q³ + q² + q + 1) (q — 1) = q⁵ — 1.

Тут Илюша, рассуждая совершенно таким же образом, пришел снова к заключению, что и это тоже правильно.

А затем человечки стали так:

(q^n-1 + q^n-2 + … + q⁴ + q³ + q² + q + 1) (q — 1) = qⁿ — 1.

«Так, — подумал Илюша. — Тут начинается с q^n-1. To-есть он хочет сказать, что это правило годится для любой степени».

Подумав немного, Илюша убедился, что Знаменатель совершенно прав.

Вслед за этим его новый приятель быстро схватил скобочку (q — 1) и перенес в знаменатель правой части. Получилось:

q^n-1 + q^n-2 + … + q⁴ + q³ + q² + q + 1 = (qⁿ — 1) / (q — 1).

Затем человечки быстро поменялись местами, и вышло:

1+ q + q²+ q³ + q⁴+…+q^n-2+ q^n-1 = (qⁿ — 1) / (q — 1).

Теперь человечек Знаменатель изобразил на своем личике самую приятную улыбку и снова показал получившуюся формулу Илюше, как бы приглашая его полюбоваться тем, что получилось.

Илюша внимательно посмотрел на формулу и подумал:

«Значит, налево стоит сумма геометрической прогрессии, у которой первый член равен единице. И теперь он получил выражение для этой суммы».

Знаменатель улыбнулся и привел двух человечков, у которых на жилетках стояла цифра «3». Затем между ними возник знак равенства, а у левого человечка тройка заменилась буквой, и вышло:

a₁ = 3.

«Так! — подумал Илюша. — Ну, я уж это знаю: первый член равен тройке».

— 195 —

Тогда у обоих человечков на жилетках появились одинаковые буквы. Человечек Знаменатель поставил одного к левой части своего равенства, а другого — к правой, и вышло:

a₁(1 + q + q²+ q³ + q⁴+…+ q^n-2+ q^n-1 ) = a₁ (qⁿ — 1) / (q — 1).

«Обе части он умножил на первый член прогрессии, — подумал Илюша. — Это можно, конечно. Ну, и что ж у нас теперь вышло? Эх! Да это теперь как раз и получилась сумма всей прогрессии!»

В это время появилась какая-то длинная пожилая дама, которая взглянула на Илюшу с возмущением и пожала в ужасе плечами. По-видимому, это была очень нервная особа, потому что человечек Знаменатель обращался с ней до крайности предупредительно. Он подвел ее к своему равенству.

Рыжая дама горестно вздохнула, и на груди ее смутно вырисовалась буква S. «Сумма!» — подумал Илюша, а человечек Знаменатель сочувственно кивнул ему, как бы говоря:

«Пренеприятная особа! Ну, да ведь ничего не поделаешь!»

И получилось следующее равенство:

S = a₁(1+ q + q²+ q³ + q⁴+…+q^n-2+ q^n-1 ) = a₁ (qⁿ — 1) / (q — 1),

с чем Илюша не мог не согласиться, а затем вся серединка формулы исчезла, и появилось окончательное выражение суммы:

S = a₁ (qⁿ — 1) / (q — 1)

— 196 —

Илюша громко и отчетливо произнес:

— Для того чтобы найти сумму геометрической прогрессии, нужно первый член прогрессии умножить на дробь, числитель которой равен разности между знаменателем прогрессии в степени, равной числу членов, и единицей, а знаменателем этой дроби является разность между знаменателем прогрессии и единицей.

Затем человечек Знаменатель разорвал свою дробь надвое:

S = a₁ [qⁿ / (q — 1) — 1 / (q — 1)]

а потом открыл скобки: