И таким образом мы проверим и необходимость и справедливость пятого (таков его порядковый номер в «Началах» Евклида) постулата. И вот Лобачевский строит новую геометрию, «воображаемую» геометрию, как он сам ее называл, где вместо постулата Евклида вводится иной, утверждающий, что из одной точки можно провести не одну, а две параллельные линии к данной. Наконец он получает результаты своего изумительного прилежания и труда, и решение этой задачи пятого постулата. Но решение это оказалось таким, которого не ожидал и к которому не был готов почти никто из современных математиков, не говоря уже о философах, а еще менее о людях, не имевших специальных математических или философских знаний. Первое, к чему пришел Лобачевский, было утверждение, что пятый постулат никоим образом из всех иных положений геометрии выведен быть не может, а следовательно, его невозможно доказать как теорему, опираясь на иные, ранее доказанные положения или допущения. Однако гораздо более важным оказалось то, что Лобачевский, развив свою новую геометрию до тех же пределов, до которых развил свою геометрию Евклид, нигде ни с какими противоречиями не встретился. Дальнейшие работы очень крупных математиков в конце прошлого века раскрыли этот вопрос до конца и полностью подтвердили выводы Лобачевского. А важнейший вывод «воображаемой» геометрии гласит следующее:
— 265 —
потому-то и невозможно доказать пятый постулат Евклида, что наряду с евклидовой геометрией может существовать иная, где этот постулат не имеет силы!
— Ну, а как же люди примирились с этой странной геометрией, которая сначала всем не нравилась?
— Сперва, — отвечал Радикс, — работы Лобачевского не только не нашли признания, но даже были встречены насмешками. Гаусс писал об одном из таких отзывов своему другу Герлингу (в 1844 году), что он видел «весьма отрицательный» отзыв о работе Лобачевского, но по словам Гаусса, для каждого сколько-нибудь осведомленного читателя ясно, что писал это «совершенно невежественный человек». Гаусс сам работал над этой темой, но не решился опубликовать свои результаты именно из-за страха перед неосведомленной критикой… Однако нашлись математики, которые дали себе труд подумать и разобраться в «воображаемой» геометрии. Одним из таких людей был итальянский математик Бельтрами, который в конце шестидесятых годов прошлого века выпустил в свет сочинение, где дал такое наглядное истолкование не-евклидовой геометрии Лобачевского, что всем стало ясно, что эти построения действительно представляют собой геометрическую систему, в известном смысле равноправную с обычной, а не только «воображаемую» геометрию. Бельтрами показал, что в обычном трехмерном евклидовом пространстве можно построить такое тело, на частях поверхности которого будет осуществляться планиметрия Лобачевского, откуда ясно, что геометрия его не может заключать в себе внутренних противоречий.
— Как же так? — с удивлением спросил Илюша. — или это вроде этих сферических треугольников, не похожих на наши обыкновенные, плоскостные?
— Да, это в некотором смысле то же самое. На сфере тоже осуществляется не-евклидова геометрия, но это будет геометрия Римана, для которой, в отличие от геометрии Лобачевского, сумма углов треугольника больше двух прямых, а кроме того, там прямая линия безгранична, но не бесконечна…
— Что это значит? — спросил Илюша.
— Припомни, что такое экватор на глобусе. Ведь он границы не имеет, но он и не бесконечен. Не правда ли?
— Ах да, совершенно верно! — спохватился Илюша.
— Итак, — продолжал Радикс, — Бельтрами нашел такую поверхность, на которой «воображаемая» геометрия Лобачевского, по крайней мере в части планиметрической, осуществлялась, хотя и не совсем полностью. Эта поверхность напоминает стеклянную воронку и называется псевдосферой, или, если сказать более по-русски, это будет якобы сфера. Ее можно лег-
— 266 —
ко построить, и мы ее сейчас тебе покажем при помощи нашей Центрифуги. Таким образом Бельтрами, а за ним и многие другие ученые доказали, что «воображаемая» геометрия занимается вещами вполне реальными. Изучение и развитие неевклидовых геометрий оказало нашей науке громадные услуги, о которых ты, если будешь учиться дальше, узнаешь очень много. А если коснуться просто повседневной жизни, то и тут стоит сказать: то, что люди называли «естественной» геометрией, — это просто геометрия на плоскости. А когда землемер меряет поверхность горы или оврага, когда портниха шьет платье, то им нередко приходится иметь дело с «неестественными» геометриями, ибо оба они встречаются с седлообразными поверхностями, напоминающими ту же псевдосферу. Недаром замечательный русский математик Пафнутий Львович Чебышев занимался портняжьей проблемой кройки платьев и сделал в тысяча восемьсот семьдесят восьмом году доклад на эту тему в одном французском ученом обществе и даже представил при этом собравшимся его слушать ученым мяч, обтянутый двумя кусками материи в некотором, совершенно точном, смысле слова «наилучшим» образом.
— Вот странно! — воскликнул Илья, — вот уж я никогда бы не подумал, что землемер или портниха занимаются не-евклидовой геометрией! Впрочем… я и о фонтанах китов тоже не догадался бы.
— Вот то-то и оно! — сердито возразил Радикс. — Имей в виду, кстати, что сам Бельтрами был геодезист, то есть именно землемер. Есть основания думать даже, что и великий Гаусс, который много занимался задачами практического землемерия, натолкнулся на неевклидову геометрию Лобачевского, именно размышляя о своеобразии геодезических задач. Кстати тебе сказать, все споры О «воображаемой» геометрии только тогда и закончились, когда была опубликована наконец перепис-
— 267 —
ка Гаусса, где он откровенно говорит своим друзьям о своих открытиях в области геометрии Лобачевского. Это случилось уже в шестидесятых годах прошлого века, а работы Лобачевского начались с двадцатых годов.
Илюша посмотрел на Радикса и подумал: «Псевдосфера! Вот почему Фавн говорил о псевдокруглом сыре. Понятно».
— Ну, а теперь, — сказал, усмехаясь, Асимптотос, — надо нам вспомнить еще Илюшиного друга — Пифагора.
— Кстати, — подхватил Коникос, — слышал ли ты легенду о «египетском мерном шнуре» с двенадцатью узлами? Греки даже называли египетских землемеров «арпедонапты», то есть «вервиетягатели».
Египетский мерный шнур для построения прямого угла. В точках В и С вбиваются колышки. Получается прямой угол в точке с при одновременном натяжении ВА и СА.
— Нет, — отвечал мальчик.
— Двенадцать, — продолжал Асимптотос, — легко разбить на три слагаемых: три, четыре и пять…
— Пифагоровы числа! — воскликнул Илюша.
— Они самые! Вот поэтому-то при помощи шнура с двенадцатью узлами очень легко построить прямой угол, который нужен и землемеру и строителю. Египтяне знали это правило чуть не за три тысячи лет до вашей эры. У нас здесь есть тоже треугольник — некий волшебно-математический аппарат, который показывает, куда мы попали — в знакомую страну или в незнакомую, где евклидовы и пифагоровы правила не годятся.
— Я как будто догадываюсь. Этот аппарат проверяет, плоская эта поверхность или нет?
— Он не только это проверяет, он еще указывает, далеко ли отклоняется от плоскости данная поверхность и как именно она это делает. А стоит тебе это узнать, и ты сейчас же сообразишь, какая там геометрия годится. Вот и все.
Илюша осмотрел ап-
— 268 —
парат, который представлял собой прямоугольный треугольник, сделанный из оловянного листа, а сбоку был циферблат со стрелкой. В середине стояла большая буква «Е», и на нее указывала стрелка. С одной стороны было написано «Положительная кривизна», а с другой — «Отрицательная кривизна».
Когда Илюша приложил аппаратик к сфере, тот немедленно ответил: «Положительная кривизна». Когда же он приложил аппаратик к стене, то стрелка осталась стоять против буквы «Е», а буква «Е», конечно, напомнила об Евклиде.
