x = j(t), y = y(t), z = c(t).         (1)

При изменении параметра t точка М с координатами (x, у, z) описывает кривую L. Иными словами, параметрические уравнения кривой связаны с представлением о кривой как траектории движущейся точки. Правые части (1) могут рассматриваться и как проекции на оси координат радиуса-вектора r переменной точки М кривой L. Вектор r' с координатами {j¢(t), y¢(t), c¢(t)} называется производной вектор-функции r (t) и направлен по касательной к L в точке М.

  Кривизна и кручение вычисляются по формулам

  s = r'r"r"'/[r', r"]²,

в которых [r', r"] — векторное, a r'r''r"' — смешанное произведение (см. Векторное исчисление).

  С каждой точкой М кривой L связаны три единичных вектора: касательной (t), главной нормали (n) и бинормали (b) (рис. 1). При этом вектор (n) расположен в соприкасающейся плоскости и направлен от точки М к центру кривизны L в М, а вектор b ортогонален t и n и направлен так, что векторы t, n и b образуют правую тройку. Указанная тройка векторов образует так называемый основной, или сопровождающий, триедр кривой L. Плоскости векторов (n, b) и (t, b) называются соответственно нормальной и спрямляющей плоскостями L в М.

  Формулы для производных векторов t, n, b по длине s дуги L называются формулами Френе. Они играют фундаментальную роль как в теории кривых, так и в приложениях этой теории (в механике, теоретической физике и т.д.). Эти формулы имеют вид

Если кривизна и кручение не равны нулю в точке М, то можно сделать определённые заключения о форме L вблизи М: проекции L на соприкасающуюся и нормальную плоскости в М имеют вид, изображённый соответственно на рис. 3 и 4. Форма проекции на спрямляющую плоскость зависит от знака кручения. На рис. 5 и 6 изображены проекции L на спрямляющую плоскость для s > 0 и s < 0. Кривизна и кручение вполне определяют кривую. Именно, если между точками двух кривых установлено соответствие так, что соответствующие дуги этих кривых имеют одинаковую длину и в соответствующих точках кривые имеют равные кривизны и равные кручения, то эти кривые могут быть совмещены посредством движения.

  По аналогии с кривыми исследуется локальное строение формы поверхностей. В каждой точке М достаточно гладкой поверхности S можно построить касательную плоскость g и однозначно определённый соприкасающийся параболоид p (рис. 7), который может выродиться в параболический цилиндр или плоскость. При этом касательную плоскость можно рассматривать как плоскость, наиболее тесно прилегающую к S вблизи М. Соприкасающийся же параболоид характеризуется тем, что в окрестности точки М он совпадает с S с точностью до величин третьего порядка малости по сравнению с размерами этой окрестности. С помощью соприкасающихся параболоидов точки М поверхностей классифицируются следующим образом: эллиптическая (рис. 8) (соприкасающийся параболоид — эллиптический), гиперболическая (рис. 9) (соприкасающийся параболоид — гиперболический), параболическая (рис. 10) (соприкасающийся параболоид — параболический цилиндр), точка уплощения (рис. 11) (соприкасающийся параболоид — плоскость).

  Обычно для исследования строения поверхности используются так называемая первая и вторая основные квадратичные формы поверхности.

  Пусть поверхность S определена параметрическими уравнениями:

x = j (u, v), y = y (u, v), z = c (u, v).          (2)

При фиксированном значении v уравнения (2) определяют на S линию, называемую координатной линией u. Аналогично определяется линия v. Координатные линии u и v образуют на S параметрическую сеть (если, например, сферу радиуса 1 задать параметрическими уравнениями

х = cos u cos v, у = cos u sin v, z = sin u,

то параметрической сетью линий u и v будут меридианы и параллели этой сферы). Величины u и v называются также внутренними координатами, т.к. точка на поверхности есть точка пересечения проходящих через неё координатных линий, т. е. может быть найдена путём построений на поверхности без обращения к объемлющему пространству.

  Радиус-вектор r произвольной точки М на S определяется уравнениями (2) как функция u и v. Частные производные r_u и r_v этой функции суть векторы, касательные соответственно к линиям u и v. Эти векторы в точке М лежат в касательной плоскости к S в М. Векторное произведение [r_u, r_v] определяет нормаль к S в точке М.

  Пусть s — длина дуги линии L на S и пусть u = f (t), v = g (t) — параметрические уравнения во внутренних координатах. Тогда, вдоль Lr и s будут функциями от t, причём дифференциал s определяется равенством ds² = dx² + dy² + dz², правая часть которого есть скалярный квадрат вектора dr = r_udu + r_vdv, т. е. ds² = dr². Поэтому

ds² = r²_udu² + 2r_ur_vdudv + r²_vdv².

С помощью обозначений r²_u = Е, r_ur_v = F, r²_v = G выражение для ds² можно записать в виде

ds² = Edu² + 2Fdudv + Gdv².          (3)

Правая часть соотношения (3) называется первой основной квадратичной формой поверхности S. С помощью этой формы можно измерять длины дуг на поверхности путём интегрирования выражения

вдоль рассматриваемой дуги. Поэтому форма (3) называется также метрической формой поверхности. Первая форма определяет также внутреннюю геометрию поверхности, т. е. совокупность фактов, которые могут быть получены путём измерений на поверхности, без обращения к объемлющему пространству. Внутренняя геометрия поверхности не меняется при её изгибании — деформации поверхности как абсолютно гибкой и нерастяжимой плёнки.

  Вторая основная квадратичная форма поверхности представляет собой выражение

Ldu² + 2Мdudv + Ndv²,

в котором L = r_uun, М = r_uvn, N = r_vvn (n — единичный вектор нормали к S в точке М). С помощью второй формы можно получить представление о пространственной форме поверхности. Например, кривизны 1/R нормальных сечений поверхности в данной точке М (т. е. линий пересечения S с плоскостями, проходящими через нормаль в М) вычисляются по формуле