Изменения в значениях слов иногда очень поучительны. Выше я говорил о слове «оргия», теперь я хочу рассмотреть слово «теория». Это слово было первоначально орфическим словом, которое Корнфорд истолковывает как «страстное и сочувственное созерцание». В этом состоянии, говорит Корнфорд, «зритель отождествляет себя со страдающим Богом, умирает с его смертью и рождается снова вместе с его возрождением». Пифагор понимал «страстное и сочувственное созерцание» как интеллектуальное созерцание, к которому мы прибегаем также в математическом познании. Таким образом, благодаря пифагореизму слово «теория» постепенно приобрело своё теперешнее значение, но для всех тех, кто был вдохновлён Пифагором, оно сохранило в себе элемент экстатического откровения. Это может показаться странным для тех, кто немного и весьма неохотно изучал математику в школе, но тем, кто испытал опьяняющую радость неожиданного понимания, которую время от времени приносит математика тем, кто любит её, пифагорейский взгляд покажется совершенно естественным, даже если он не соответствует истине. Легко может показаться, что эмпирический философ — раб исследуемого материала, но чистый математик, как и музыкант, — свободный творец собственного мира упорядоченной красоты.

В барнетовском описании пифагорейской этики интересно отметить противоположность её современным оценкам. Например, на футбольном матче люди, мыслящие по-современному, считают, что игроки гораздо важнее простых зрителей. Эти люди подобным же образом относятся и к государству: они больше восхищаются такими политиками, которые являются конкурентами в политической игре, нежели теми людьми, которые являются только зрителями. Эта переоценка ценностей связана с изменением социальной системы: воин, благородный, плутократ и диктатор — каждый имеет свои собственные нормы добра и истины. В философской теории тип благородного сохранялся довольно долго, потому что этот тип был связан с греческим гением, потому что добродетель созерцательности получила теологическое одобрение, потому что идеал познания беспристрастной истины отождествлялся с академической жизнью. Благородный должен быть определён как член общества равных, которые живут плодами рабского труда или, во всяком случае, плодами труда людей, чьё более низкое положение не вызывает сомнений. Необходимо заметить, что под это определение подходят и святой и мудрец, поскольку эти люди живут скорее созерцательной, чем активной жизнью.

Современные определения истины, которые даются, например, прагматизмом или инструментализмом — скорее практическими, чем созерцательными учениями, — являются продуктом индустриализма в его противоположности аристократизму.

Что бы мы ни думали о социальной системе, которая относится терпимо к рабству, мы обязаны чистой математикой благородным в вышеупомянутом смысле слова. Идеал созерцательной жизни, поскольку он вёл к созданию чистой математики, оказался источником полезной деятельности. Это обстоятельство увеличило престиж самого этого идеала, оно принесло ему успех в области теологии, этики и философии, успех, которого в противном случае могло бы и не быть.

Так обстоит дело с объяснением двух сторон деятельности Пифагора: Пифагора как религиозного пророка и Пифагора как чистого математика. В обоих отношениях его влияние неизмеримо, и эти две стороны не были столь самостоятельны, как это может представляться современному сознанию.

При своём возникновении большинство наук было связано с некоторыми формами ложных верований, которые придавали наукам фиктивную ценность. Астрономия была связана с астрологией, химия — с алхимией. Математика же была связана с более утончённым типом заблуждений. Математическое знание казалось определённым, точным и применимым к реальному миру; более того, казалось, что это знание получали, исходя из чистого размышления, не прибегая к наблюдению. Поэтому стали думать, что оно даёт нам идеал знания, по сравнению с которым будничное эмпирическое знание несостоятельно. На основе математики было сделано предположение, что мысль выше чувства, интуиция выше наблюдения. Если же чувственный мир не укладывается в математические рамки, то тем хуже для этого чувственного мира. И вот всевозможными способами начали отыскивать методы исследования, наиболее близкие к математическому идеалу. Полученные в результате этого концепции стали источником многих ошибочных взглядов в метафизике и теории познания. Эта форма философии начинается с Пифагора.

Как известно, Пифагор говорил, что «все вещи суть числа». Если это положение истолковать в современном духе, то в логическом отношении оно кажется бессмыслицей. Но то, что понимал под этим положением Пифагор, — не совсем бессмыслица. Пифагор открыл, что число имеет большое значение в музыке; об установленной им связи между музыкой и арифметикой напоминают до сих пор такие математические выражения, как «гармоническое среднее» и «гармоническая прогрессия». В его представлении числа, наподобие чисел на игральных костях или картах, обладают формой. Мы всё ещё говорим о квадратах и кубах чисел, и этими терминами мы обязаны Пифагору. Пифагор точно так же говорил о продолговатых, треугольных, пирамидальных числах и т. д. Это были числа горстей гальки (или, более естественно для нас, числа горстей дроби), требуемые для образования формы. Пифагор, очевидно, полагал, что мир состоит из атомов, что тела построены из молекул, состоящих в свою очередь из атомов, упорядоченных в различные формы. Таким образом, он надеялся сделать арифметику научной основой в физике, так же как и в эстетике.

Положение, согласно которому сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника, прилежащих к прямому углу, равна квадрату третьей стороны — гипотенузы, было величайшим открытием Пифагора или его непосредственных учеников. Египтяне знали, что треугольник, стороны которого равны 3, 4 и 5, является прямоугольным, но, очевидно, греки первыми заметили, что 3² + 4² = 5² и, исходя из этого предположения, открыли доказательство общей теоремы.

К несчастью для Пифагора, эта его теорема сразу же привела к открытию несоизмеримости, а это явление опровергало всю его философию. В прямоугольном равнобедренном треугольнике квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату любой из сторон. Предположим, что каждый катет равен одному дюйму; какова в таком случае длина гипотенузы? Допустим, что её длина равна m/n дюймов. Тогда m²/n² = 2. Если m и n имеют общий множитель, разделим их на него. В таком случае по крайней мере или m, или n должно быть нечётным. Но теперь учтём, что раз m² = 2n², следовательно, m² — чётное и, стало быть, m— чётное, a n нечётное. В таком случае, следовательно, предположим, что m = 2р. Тогда 4p²=2n²; следовательно, n² = 2p², следовательно n — чётное, что противоречит допущению. Поэтому гипотенузу нельзя измерить дробным числом m/n. Это доказательство является, по существу, доказательством, которое приводится у Евклида в книге Х[34].

Это доказательство говорит о том, что, какую бы единицу длины мы ни выбрали, существуют отрезки, которые не находятся в точном числовом отношении к этой единице, то есть что нет таких двух целых чисел тип, при которых рассматриваемый отрезок, взятый m раз, был бы равен единице длины, взятой n раз. Это положение привело греческих математиков к мысли, что геометрию следует развивать независимо от математики. Некоторые места в платоновских диалогах показывают, что в его время была принята независимая от арифметики трактовка геометрии; этот принцип получил своё завершение у Евклида. В книге II Евклид доказывает геометрически многое из того, что для нас естественнее было бы доказывать алгебраически, например, что (а + b)² = а² + 2ab + b². Евклид счёл этот способ необходимым именно благодаря трудностям, связанным с несоизмеримостью величин. То же самое наблюдается и в толковании Евклидом пропорции в книгах V и VI. Вся система Евклида превосходна в логическом отношении, и она предвосхитила математическую строгость выводов математиков XIX века. Поскольку адекватной арифметической теории несоизмеримых величин не существовало, метод Евклида был наилучшим из возможных в геометрии методов. Когда Декарт ввёл координаты в геометрию, снова вернув тем самым арифметике верховенство, он сделал предположение, что разрешение проблемы несоизмеримости вполне возможно, хотя в его время такое решение ещё не было найдено.