— И буквами, — добавил Дэ. — Уверен, Лобачевский не сказал так лишь потому, что это само собой разумеется.

Платформа с учёными сделала три круга и покинула поле под гром приветствий.

И тогда началось самое интересное.

Но об этом тебе расскажет Сева. Так что жди письма.

Таня.

Не думай, что я такая умная и запомнила всё, что говорил А.

Речь его была тут же отпечатана и размножена. Мне оставалось только переписать. А листок я сохранила на память.

(Нулик — отряду РВТ)

Дорогие ребята! Как же мне досадно, как обидно, что я не был на стадионе!

Но зато я сделал важное открытие. То есть открытие сделала мама. И вообще это не открытие, а давно известная вещь. Но для меня она была открытием.

Дело было так.

Мои ученики тоже решили устроить карнавал. И семь Нуликов явились в школу в новеньких беретах, все береты разных цветов: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий и фиолетовый. Словом, семь цветов радуги. Нулики в беретах должны были идти во главе карнавального шествия. Но мне не понравилось, в каком порядке они стоят. Мне показалось, что красный берет должен быть рядом с синим, а синий — с оранжевым. А другому Нулику захотелось, чтобы жёлтый был рядом с фиолетовым. Тут каждый стал вносить свои предложения:

— Жёлтый с красным!

— Красный с синим!

— Фиолетовый с жёлтым!

Все так расшумелись, что я долго не мог их успокоить. Порешили перепробовать все перестановки. А потом большинством голосов выбрать самую красивую.

И началось! Расставили Нуликов так, как они стояли вначале: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый.

Потом Нулики стали меняться местами. Красный оказался на месте оранжевого, потом перешёл на место жёлтого, потом на место зелёного и так до тех пор, пока он не очутился на месте фиолетового. Теперь впереди оказался Нулик в оранжевом берете. Мы стали его тоже постепенно передвигать вправо. Так же поступили и с зелёным, и со всеми остальными. А когда красный берет опять оказался первым слева, мы решили его оставить на месте и стали двигать вправо другие береты: жёлтый, зелёный, синий… Переставляем, переставляем… Второй день переставляем. О карнавале никто уж не заикается. Сделали 527 перестановок, а до конца — далеко.

Мы было хотели бросить, но тут появилась моя мама. Пришлось рассказать, в чём дело. А она давай смеяться! А когда отсмеялась, спросила:

— Неужели вы не знаете, что такое факториал?

— Знаю! — выпалил я, вспомнив ваше письмо. — Это оркестр восклицательных знаков.

Мама стала смеяться снова. А потом сказала, что факториалы могут, конечно, играть в оркестре. Но это не мешает им оставаться математическим знаком. Его ставят после какого-нибудь числа. И тогда он показывает, сколько чисел натурального ряда надо перемножить. Вот например: если написать 3! — значит, надо перемножить все числа натурального ряда от единицы до трёх включительно:

3!=12·3=6.

А записывается это так, чтобы было покороче. Задумали перемножить числа от единицы до миллиона — пожалуйста: пишем 1 000 000!. Коротко и ясно.

А ещё мама сказала, что слово «факториал» произошло от латинского слова «фактор». По-нашему — это «производящий действие». Вот факториал и производит перемножение чисел натурального ряда.

Ну, это я запомнил сразу. Одного только никак не мог понять: при чём здесь разноцветные береты?

— А вот при чём, — сказала мама. — Если вы хотите узнать, сколько раз надо переставить семь Нуликов в разноцветных беретах, чтобы сделать все возможные перестановки, надо вычислить факториал числа семь, то есть перемножить все числа натурального ряда от единицы до семи.

Стали перемножать и получили большущее число:

7!=12·3·4·5·6·7=5040.

Пять тысяч сорок! Пять тысяч сорок перестановок! А мы сделали всего 527. Ужас!..

Хорошо, что в разноцветных беретах явились всего семь Нуликов. А что если бы двадцать семь? Пришлось бы вычислять факториал двадцати семи. Нет уж, дудки! Хотите — считайте сами. А я не буду.

Всего вам хорошего. С нетерпением жду новых сообщений.

Нулик-Факториал.

(Сева — Нулику)

Внимание, внимание! Говорят все радиостанции Аль-Джебры! Начинаем репортаж с Центрального стадиона. Здесь сейчас будут выступать самые юные гимнасты страны.

Слышите гул приветствий? Это на поле выбегают дошкольники — латинские буковки a в зелёных костюмах, за ними буковки b — они в красном, и, наконец, с — в светло-жёлтом. Они образуют несколько рядов и замирают. Теперь каждая из них не просто буква. Здесь она называется одночлен.

Сверху нам открывается чудесное зрелище: пёстрый прямоугольник из букв! Но вот грянул оркестр факториалов. Звучит вальс, и прямоугольник приходит в движение. Буквы делают шаг в сторону. Одни вправо, другие влево. Потом они берутся за руки, и вот уже перед нами десятки разноцветных пар:

ab, ac, bc.

Зелёное с красным, жёлтое с зелёным, красное с жёлтым…

Юные гимнасты показывают действие, которое называется перемножением одночленов. Разумеется, никаких знаков умножения при этом нет. Каждый младенец в Аль-Джебре знает, что если две буквы стали рядом, значит, они помножены друг на друга.

Не подумайте только, что от перемножения буквы превратились в двучлены. Боже упаси! Это грубая ошибка! Они как были, так и остались одночленами.

Но вот идёт новая перестановка. Теперь буковки объединяются по три: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Легко догадаться, что это тоже произведения и каждое из них опять-таки одночлен.

Умножение одночленов закончилось. Буквы снова заняли первоначальные позиции. Оркестр играет весёлую полечку. На стадионе появляются знаки сложения и вычитания. Плюсы и минусы занимают места между буковками-одночленами:

а+b, b+с, а−b, b−с.

Вот когда буквы из одночленов превратились в двучлены. Но не успели зрители как следует полюбоваться этой картиной, как буквы образуют уже другие суммы:

а+b−с, а+c−b, а−b−с…

Теперь это уже трёхчлены. Жаль, что в упражнениях принимают участие только а, b и с. Будь здесь другие буквы, мы увидели бы ещё более сложные алгебраические суммы.

Внимание! Начинается новое упражнение. Забавно! Очень забавно! Знаки плюс стали между одинаковыми буквами. Сейчас сложились семь буковок а, и… о чудо! Вместо семи осталась только одна. Остальные шесть исчезли на наших глазах, а вместо них на поле появилось число Семь. Оно встало слева от буквы а, и весь стадион хором прочитал: «Семь а».

Это волшебное алгебраическое упражнение называется приведением подобных. Оно возможно только тогда, когда все слагаемые действительно подобны, то есть совершенно одинаковы. Какая экономия места, времени и чернил! В Аль-Джебре очень любят экономию. В самом деле, к чему писать если можно записать коротко и ясно:

7a.

Семёрка немного важничает. Оно и понятно: ведь она одна заменила шесть одинаковых букв и ей присвоено почётное звание числового коэффициента при букве а.

Ага! Другим буквам это тоже понравилось. Они просят плюсы занять места между ними. И вот число букв стремительно уменьшается. Вместо них на поле появляются числа-коэффициенты. Вместе с оставшимися буквами они образуют одночлены:

126, 8а, 24abc, 3bс и так далее.

Их зорко охраняют рыцари-коэффициенты.

Упражнениям нет конца! Только что на поле образовался многочлен

как мигом произошло приведение подобных и появился верный рыцарь — коэффициент Шесть:

Но что это? Оркестр замолкает… Понимаю: сейчас произойдёт перегруппировка и начнётся новое упражнение. В самом деле: минусы и плюсы покидают поле под дружные аплодисменты. Буковки снова образовали пёстрый прямоугольник. Но теперь в первом ряду стоят буквы в зелёном, во втором — в красном, в третьем — в светло-жёлтом. Они повторяют самое первое упражнение — перемножение одночленов. Только теперь все сомножители одинаковые. И опять происходят чудеса. Как только две одинаковые буквы перемножатся, одна из них сейчас же исчезает, а на поле появляется число Два. Буква протягивает руку, и Двойка ловко вскакивает к ней на ладошку: