— Расскажите о каком-нибудь признаке, — попросила Пятёрка. — Это очень интересно.

— В таком случае вернёмся к тем двум числам, которые я только что показывал на экране. Напомню их.

На экране появились числа: 135 227 и 264 852.

— Как видите, каждое число состоит из шести цифр. Будем эти цифры принимать за числа. И поставим между ними знаки плюс.

На экране под первым числом появилась сумма:

1+3+5+2+2+7=20.

— А теперь скажите: делится ли число двадцать на девять? Нёт, не делится. Значит, и всё число тоже не делится на девять. Попробуем проделать то же со вторым числом.

На экране снова засветилась сумма:

2+6+4+8+5+2=27.

— Видите, получилось двадцать семь. А это число как раз делится на девять. Значит, и всё число тоже делится на девять. Вот каков признак делимости на девять. Его очень легко изложить так: число делится на девять, если сумма его цифр делится на девять.

— В таком случае, — сказал Олег, — я знаю и признак делимости на три. Ведь девять — это трижды три! Значит, если сумма цифр числа делится на три, то и само число тоже делится на три.

— Совершенно верно! Вы будете великим математиком! — торжественно изрек Автомат.

— Я тоже знаю один признак: если сумма цифр числа делится на пять, то и число делится на пять, — сказал Сева. Ему тоже хотелось стать великим математиком.

— Ни в коем случае, ни в коем случае! — воскликнул Автомат, возмущённо замигав всеми своими лампочками. — Тр-пр-хр! Разве можно мерить всех одной меркой? Ведь число двадцать три не делится на пять, хотя сумма его цифр равна пяти. Признак делимости на пять очень прост: на пять делятся только те числа, которые оканчиваются пятёркой или нулём. Например, 75, 210, 625, 4 168 596 895 и так далее.

— Как просто! — засмеялась Таня.

— Есть признаки и посложнее. Например, признак делимости на одиннадцать.

— Ах, пожалуйста, расскажите об этом признаке! — попросила Пятёрка.

— Хорошо. Слушайте меня внимательно. Возьмём число

— У-у-у! — протянули ребята. — Это число и прочитать трудно.

— Хр-пр-тр! Сто семьдесят пять миллиардов триста шестьдесят два миллиона сто двадцать одна тысяча шестьсот девяносто три! — единым духом выпалил Автомат. — Ничего особенного. Посмотрим, делится ли оно на одиннадцать. Расположим цифры этого числа таким образом:

— Видите, я каждую вторую цифру опустил чуть пониже. А теперь поставим в каждом ряду между цифрами знаки плюс. Получаем:

1+5+6+1+1+9=23

7+3+2+2+6+3=23

В обоих рядах сумма цифр одинакова. А это и значит, что число непременно разделится на одиннадцать.

— Неужели? — усомнился Сева.

— Проверьте, — предложил Автомат.

— Это было бы слишком долго, — ответил Сева.

Тогда Олег показал нам страничку из блокнота, на которой он уже произвёл деление.

— Совершенно правильно! — сказал Автомат. — Вы действительно будете хорошим математиком.

А на экране вспыхнули числа:

175 362 121 693: 11= 15 942 011 063.

— Вот вам и ответ: пятнадцать миллиардов девятьсот сорок два миллиона одиннадцать тысяч шестьдесят три.

— Значит, на одиннадцать делятся только такие числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, равна сумме цифр, стоящих на чётных? — спросил Олег.

— Нет, не только эти числа делятся на одиннадцать. Есть более общий признак делимости. Вот, например…

В это время раздался продолжительный звонок, возвестивший конец рабочего дня. Автомат едва успел с нами попрощаться, как все его лампочки погасли. Жаль!

Мы вышли на улицу. Теперь надо было поспеть на площадь Радостей и Огорчений, где нам назначила свидание Четвёрка с бантиком.

На этой площади ежедневно приземлялись воздушные корабли, возвращающиеся от людей в Карликанию.

Мы пришли вовремя. Первая ракета только что приземлилась. Спустили трап, и тысячи путешественников очутились в объятиях своих родных и друзей.

Рядом с нами какая-то счастливая мама-Пятёрка обнимала свою младшую дочку.

— Мне было так без тебя скучно! — жаловалась она.

— А мне было так весело! — щебетала дочка. — Нас послали к одному архитектору — ему поручили строить дома в новом городе. Он долго думая: по скольку этажей должно быть у этих домов? То возьмёт Четвёрку, то Девятку. А потом посмотрел на меня и сказал: «Дома будут пятиэтажные!»

— Ах ты моя красавица! — умилилась мать, но тут же ахнула: — Где это ты так перепачкалась? Хороша красавица!

— Это один неловкий чертёжник пролил на меня, пузырёк с тушью. Я уж оттирала-оттирала резинкой, не сходит.

Мимо важно прошли трое карликан, громко распевая:

— Ту-ту-ту… ту-ту-ту!

Это были цифры 1, 0, 4.

— Отчего они так важничают? — спросил Сева.

— Разве вы не узнали этих трёх героев? — откликнулась шагавшая за ними, карликанша. — Их портреты вывесили сегодня на реактивном самолёте. Среди них и мой сын. Этот самолёт называется «Ту-104». Теперь они только и знают, что поют: «Ту-ту-ту… ту-ту-ту!»

— А я была в цирке, — рассказывала своей маме крохотная Двойка. — Я видела, как дядя в рыжем парике делал двойное сальто. Можно, я тоже попробую сделать дома двойное сальто? Ведь я Двойка — у меня должно выйти.

— Я вот нашлёпаю тебя, — ответила мама, — и думать перестанешь о своём сальто! Ты что, хочешь голову сломать?

Снова загудели моторы, и на площадь опустился многоместный самолёт. Из него стали выходить пассажиры. Они прижимали к глазам маленькие белые платочки.

Сразу же все на площади перестали смеяться и сделались грустными. Площадь Радостей превратилась в площадь Огорчений.

— Какое несчастье! Какое горе! — причитала какая-то Девятка, спускаясь по трапу. — Пропал, пропал бедный маленький Нулик. Утром на площади Добрых Напутствий с нами было сорок три нулика. Потом нас отправили в школу, в третий класс. Там было так хорошо, так весело! Школьники учились делить целые числа. Мы перебегали с парты на парту, из тетради в тетрадь. А потом, когда мы сели в самолёт, чтобы возвращаться домой, у нас оказалось только сорок два нулика! Один пропал. Какое горе!

— Это мой сыночек пропал! — заголосила знакомая толстая Восьмёрка. Она уже успела пересмотреть всех прибывших нуликов. — Почему я не поехала с ним? Что я буду без него делать?

— Может быть, он ещё вернётся? Может быть, он сел по ошибке в другой самолёт? — утешали бедную маму.

— А может быть, — сказала наша Четвёрка с бантиком, — он и не уезжал отсюда? Он у вас такой баловник! Утром при посадке спрятался, а потом убежал в кино.

— Нет, скорее всего, — предположила какая-то Единица, — на футбольный матч.

— А может быть, он в цирке делает двойное сальто? — сказала крошка Двойка.

— Бедный мой сыночек! Где ты сейчас? — не унималась мама-Восьмёрка.

— Успокойтесь, — сказала Четвёрка, — найдётся ваш Нулик. Утро вечера мудренее. Если он не появится сегодня, завтра перевернём всё Арифметическое государство и найдём его обязательно.

В это время объявили о прибытии самолёта с малышами. Четвёрка озабоченно пересчитала своих питомцев и облегчённо вздохнула. Они оказались целы и невредимы.

Все вместе мы возвращались обратно. По дороге малыши наперебой рассказывали о своих приключениях.

Мы дошли до Числовой площади, где пожелали друг другу спокойной ночи и расстались.

Так закончился наш первый день в Карликании.