Дабы показать, насколько трудно бывает неискушенному человеку при решении простой задачи покинуть проторенный путь, я предлагаю вам бросить взгляд на привычную нам десятичную систему счисления. Обычно большинство людей пользуются ею не задумываясь. Они знают, что при сложении столбиком каждую колонку можно заполнять вплоть до 9, а если сумма получается больше 9, то следует перейти в колонку слева. Однако все это далеко не так просто.

Первобытный человек, подобно каждому из нас, учился считать на пальцах обеих рук – вот отсюда и возникла десятичная система счисления. Не исключено, что если бы человек произошел от обезьяны с четырехпалыми конечностями, то нам пришлось бы пользоваться «восьмеричной» системой. С математической точки зрения десятичная система не столь уж и совершенна, для некоторых целей, например, лучше подходит «семеричная» система, где в каждом разряде может стоять любая из семи цифр от 0 до 6. В этой системе 66 означает 6 семерок и 6 единиц, так что если к данному числу прибавить 1, то получится 100, или 49 в десятичной системе.

Дело в том, что, прибавив 1 к 6, мы получили бы 7. Поэтому мы пишем в младшем разряде 0, а в следующий разряд добавляем 1 и получаем там снова 7; так что во втором разряде мы опять записываем 0, а в третьем разряде пишем 1. В результате и получается число 100, которое в десятичной системе записывается как 49. Аналогичным образом 222 в десятичной системе запишется как 114: две единицы, две семерки и дважды по 49.

Представьте, что нашими предками были четырехпалые обезьяны и наши предтечи считали до восьми и ничего не знали о девятках и десятках; как бы мы тогда в восьмеричной системе записали 1906 год? Эта задача поможет вам понять некоторые элементарные принципы, лежащие в основе перехода от одной системы счисления к другой.

Компания отправилась на большой ежегодный пикник. В каждом экипаже находилось одинаковое число пассажиров. На полпути вышли из строя 10 экипажей, так что в каждый оставшийся экипаж пришлось пересесть по одному лишнему пассажиру.

На обратном пути из строя вышло еще 15 экипажей; теперь в каждом экипаже ехало на 3 пассажира больше, чем их было, когда компания поутру тронулась в путь. Сколько человек участвовало в ежегодном пикнике?

Задачу о монахинях из монастыря Монте-Маладетта можно встретить почти во всех старых сборниках головоломок, но она очень примитивна. Я помню, что в свое время ее ответ просто разочаровал меня. Говорили об испанском происхождении этой головоломки, якобы она основана на историческом эпизоде. Недавно мне в руки попал сборник старых испанских сказаний, в одном из которых я нашел краткое упоминание о монастыре Монте-Маладетта, расположенном в горном массиве Пиренеев, носящем то же название. Речь там шла о захвате этой части страны французами, которые в конце концов были изгнаны.

Прямое отношение к головоломке имела, однако, та часть текста, где говорилось: «Многих монахинь франки увели с собой, видно, отсюда и пошла известная задача о монахинях монастыря Монте-Маладетта». Поскольку никаких письменных свидетельств о головоломке не сохранилось, а ее популярный вариант весьма сомнителен из-за двойственности решения, я беру на себя смелость представить ее в форме, сохраняющей дух задачи, но свободной от неоднозначности решения.

Монастырь, как это показано на рисунке, представлял собой квадратное трехэтажное здание с шестью окнами на каждой стороне верхних этажей. Ясно, что на каждом из верхних этажей было по 8 комнат, что вполне согласуется со старой историей. По преданию, верхние этажи использовались под кельи. В кельях самого верхнего этажа кроватей было больше, чем в кельях второго этажа, так что на нем и монахинь помещалось вдвое больше.

Мать-настоятельница следила за тем, чтобы каждая келья непременно была занята. Причем на третьем этаже должно жить вдвое больше монахинь, чем на втором, а в шести комнатах, выходящих на каждую из четырех сторон здания, их должно проживать ровно по 11. Задача относится только к двум верхним этажам, нижний этаж занимала трапезная.

Ну, так вот, после отступления французских войск через ближайшее ущелье обнаружилось, что исчезло 9 самых молодых и хорошеньких монахинь. Очевидно, их во всех смыслах пленили французские солдаты. Однако, дабы не огорчать случившимся мать-настоятельницу, монахини скрыли потерю, по-новому переселившись в своих кельях.

Монахини умудрились расселиться таким образом, что во время своего ежевечернего обхода мать-настоятельница не заметила никаких изменений: все кельи были заняты, на каждой стороне проживало по 11 монахинь и на третьем этаже монахинь было вдвое больше, чем на втором. И все же 9 монахинь отсутствовало! Сколько монахинь проживало в монастыре и как они размещались по кельям?

Изюминка задачи содержится в парадоксальных условиях, которым на первый взгляд удовлетворить невозможно. Тем не менее головоломка вполне поддается решению.

Однажды один торговец из Багдада, который снабжал своими товарами паломников, пересекавших пустыню, столкнулся с трудноразрешимой задачей. К нему пришел хозяин каравана, чтобы купить про запас вина и воды. Он принес с собой 3 кувшина в 10 галлонов каждый и попросил налить в первый кувшин 3 галлона вина, во второй – 3 галлона воды, а в третий – смесь из 3 литров воды и 3 литров вина; кроме того, он хотел, чтобы и каждый из 13 верблюдов получил по 3 галлона воды.

Поскольку, согласно восточным обычаям, вино и вода продавались лишь четным числом галлонов, у торговца были меры в 2 и 4 галлона. Тут-то и возникла трудность. Тем не менее, не прибегая ни к каким трюкам, уловкам или приспособлениям, торговец безо всяких потерь налил нужные порции воды из большой бочки в 63 галлона и вина из малой бочки в 31 ¹/ ₂галлона. За сколько операций ему удалось это сделать, если операцией считать каждое переливание жидкости из одного сосуда в другой?

Помните эпизод из «Алисы в Стране Чудес» Льюиса Кэрролла, где Алиса встречается с Чеширским котом? Этот удивительный кот мог исчезнуть, но улыбка его оставалась. Впервые увидев своего приятеля из семейства кошачьих, Алиса захотела узнать, что это за животное, а поскольку в Стране Чудес вопросы всегда задавались в письменной форме, она сделала то же самое. Но в Стране Чудес читали и задом наперед, и снизу вверх, и сверху вниз, поэтому она записала свой вопрос так, как показано на рисунке. Это позволяет читателю начинать и заканчивать фразу, где он пожелает.

Задача состоит в следующем. Сколькими различными способами вы сумеете прочитать вопрос Алисы: WAS IT A CAT I SAW? (He кота ли я видела?) Начинайте с любого W и переходите к соседней букве, от нее – к следующей и т. д., пока не доберетесь до С, а затем возвращайтесь назад к границе. Вы можете двигаться вверх и вниз, влево и вправо.