1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12…

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144…

Под каждым числом натурального ряда я подписываю во втором ряду его квадрат, и оба ряда будут тянуться вровень без конца. «Поэтому, — говорит далее Галилей, — нельзя сказать, которых чисел больше, которых меньше. Можно только сказать, что их бесконечное множество — и тех и других». Свойства конечных чисел, таким образом, на бесконечные множества распространять невозможно.

— 209 —

Из этого луча можно сделать два луча.

— Все это так, — медленно произнес Илюша, — а понять все-таки очень трудно.

— Ничего удивительного здесь нет, — отвечал Радикс, — что тебе вся эта задача кажется такой трудной. Современные ученые полагают, что она была настолько трудна для современников Галилея, что не столько привлекла их внимание к этим тонким вопросам, сколько отпугнула их своей необычностью и необъяснимостью. Но не торопись, кое-что можно будет тебе разъяснить в дальнейшем.

— Хорошо бы… — отвечал наш герой.

— Трудность здесь заключается в том, что мы не можем пересчитать числа в том и другом ряду. Так как это невозможно, то нам остается только подумать, нельзя ли найти какой-нибудь способ сравнивать друг с другом бесконечные множества. И вот что тут можно предложить.  Представь себе, что ты пришел в школу на вечер. Собралась масса мальчиков и девочек. Зал большой, страшная толкотня, а тебе хочется узнать, кого больше: мальчиков или девочек? Сколько тех и других, тебя не интересует. Ты хочешь только выяснить, кого больше. Как это сделать? Самое простое — попросить оркестрантов, чтобы они заиграли вальс. Тотчас же все станут парами, и тут ты увидишь, кого больше. Теперь ты видишь, что я и применяю этот самый способ к бесконечным множествам, например ко множеству всех чисел и множеству квадратов: сопоставляю их попарно, а раз это удается, значит, что никакой разницы между множеством всех чисел и множеством квадратов в отношении количества их элементов нет.

— 210 —

Но только математики говорят в таких случаях не «количество» элементов, а так: эти два множества имеют «одинаковую мощность»[16].

— А теперь уже мне кажется, что всякие два бесконечных множества будут иметь одинаковую мощность! — сказал Илюша. — Если я, например, начну располагать в ряд элементы одного из них, а ты в это время будешь делать то же самое с другим, то выйдет, что мое и твое множества одинаковой мощности, как если я буду перебирать подряд все числа, а ты одновременно со мной только все четные.

— Нет, — ответил Радикс, — не все бесконечные множества можно так исчерпать. Например, если взять множество всех точек на отрезке прямой, то его таким способом исчерпать нельзя. У нас говорят, что оно имеет «более высокую мощность», чем множество, например, всех натуральных чисел.

— По поводу точек на отрезке я вспоминаю, — сказал Илюша, — что ты мне говорил, будто из одного луча можно сделать два.

— Даже не два, а бесконечное множество. И это очень просто. Представь себе, что на твоем луче отложен отрезок, равный единице, потом еще один, и так до бесконечности. Перенумеруй по порядку эти отрезки, а затем, как хозяин Мишкиной гостиницы, из четных, сдвинув их вместе, сооруди один луч, а из оставшихся нечетных — другой. Потом можешь повторить это с каждым из них, и так столько раз, сколько тебе угодно. А если догадаешься, можешь и сразу начать так перераспределять эти единичные отрезки, чтобы получилось бесконечное число лучей.

— Но если конечный отрезок разделить пополам, в каждой части будет вдвое меньше точек, чем в целом отрезке?

— Нет! — ответил Радикс. — Это снова тот же самый Мишкин неразменный рублик. В смысле «мощности» количество точек в целом отрезке и в его половине одинаково. Ты можешь в этом убедиться хотя бы так. Помнишь, что средняя линия треугольника равна…

— Половине основания!

— Вот именно. А теперь проведи из вершины противоположного угла прямые, соединяющие ее с точками основания.

Каждая из этих прямых пересечет и среднюю линию в какой-нибудь точке. Вот и получится, что каждой точке основания отвечает при таком построении точка на средней линии.

— 211 —

— И все-таки основание вдвое длиннее! Как это объяснить?

— Ты забываешь, что точки «не имеют длины» и длина отрезка вовсе не слагается из «длин» составляющих его точек.

Поэтому к длинам отрезков сравнение мощностей здесь никакого отношения не имеет.

— Я не пойму, — сказал Илюша. — Ведь отрезок состоит из точек, а точка не имеет длины. Откуда же берется в таком случае длина отрезка?

— Ты не понимаешь потому, что ты привык изображать точки маленькими пятнышками, которые, конечно, имеют протяженность. Если бы ты изображал точки маленькими отрезками, расположенными вдоль этого отрезка, то на тех же основаниях ты мог бы сказать, что «направление» отрезка «слагается» из «направлений» составляющих его точек. Но ведь ты этого не скажешь: тебе ясно, что точка «не имеет направления». Говорить о направлении можно, только если есть по крайней мере две различные точки. Согласен?

— Выходит, так, — со вздохом признался Илюша.

— Вот теперь ты знаешь секрет Мишкиного неразменного рубля. И ты видишь, что эти его хитрые фокусы с рублем совсем не пустяк, а связаны с очень серьезными вещами. Вот тебе и сказка. Знаешь, как говорится в одной сказке:

— Знаю! — засмеялся Илюша. — Это у Пушкина в «Золотом петушке». Но теперь, когда я еще и это узнал, то уже

— 212 —

совсем не понимаю, на что может быть нужна такая чудовищно громадная величина, которую и представить себе невозможно и с которой не знаешь, как обращаться, потому что она даже и правил наших никаких знать не хочет.

— Когда-нибудь ты еще много чудес узнаешь об этом удивительном чудовище. Узнаешь, может быть, и то, что это еще не самое большое из наших чудовищ…

— Как так?

— А очень просто, — коротко ответил Радикс. — Что же касается странных свойств нашего чудовища, то какими бы они странными тебе ни казались с первого раза, они тем не менее в высшей степени полезны. Если обращаться с ними с должной осторожностью, то они нам помогут в таких случаях, когда никто другой помочь не может. Разумеется, никаких обычных действий, которые мы производим с числами, с бесконечностью производить нельзя, ибо это ведь не число. Она служит нам для рассуждения о процессах измерения таких величин, которые невозможно измерить, так сказать, «попросту». А рассуждения эти позволяют нам установить соотношения между этими трудными для измерения величинами (вроде длины окружности) и обыкновенными линейными мерами.

— Значит, есть задачи, в которых участвует бесконечность?

— Сколько хочешь! Вот тут-то и выступает перед нами мощный и совершенный Великий Змий, победитель веретен, развертыватель спиралей, покоритель бочек, великий механик центра тяжести, слагающий скорости, тот, кто открывает законы природы и записывает их простыми и понятными знаками.

И неясный облик Великого Змия мелькнул перед глазами Илюши.

— Тсс! — таинственно зашипел Радикс, подняв свой единственный указательный палец.

Но призрак уже исчез.

— Вот ты опять говоришь про спирали, бочки и законы природы!.. А я ничего не понимаю!

— В свое время ты все узнаешь. А сейчас нам надо еще потолковать с Мишенькой.

Плюшевый Мишка немедленно проснулся и начал играть со своим рубликом.