Он подкидывал его в воздух, и рубль, взлетая, рассыпался в мельчайшую серебряную пыль, которая потом спускалась

— 213 —

сверкающим облачком в лапки Мишки. Мишка прыгал вверх ей навстречу, на миг исчезая в этом красивом облачке, а когда он падал обратно, то уже облачка не было, а у Мишки в лапках опять сверкал новенький неразменный рублик, отчеканенный (не забудь об этом, мой милый!) высоким повелением ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА.

— Вот что, — вымолвил Радикс, — давай-ка возьмем убывающую геометрическую прогрессию. Пусть первый ее член будет половиной, а знаменатель одна вторая. Ну-ка, давай рассчитаем сумму.

Илюша написал формулу суммы.

— Давай переменим знаки в числителе и знаменателе, так будет попроще, — предложил Радикс.

Илюша послушался, и формула стала такая:

S = a₁ (1 — qⁿ) / (1 — q)

Потом Илюша стал подставлять данные. Вышло так:

S = 1/2 · (1 — (1/2)ⁿ) / (1 — 1/2)

— Внизу, — произнес Илюша, — получается половина, и я ее сокращаю с половиной, которая стоит спереди множителем. Значит, у меня остается штука нехитрая:

S = 1 — (1/2)ⁿ)

Ну вот-с! — сказал Радикс. — Теперь давай-ка разберем, сколько выйдет, если мы опять возьмем шахматную доску, на первую клетку положим половину… Чего бы нам взять?.. Ну, возьмем половину яблока! На вторую клетку кладем четверть яблока, на третью восьмушку и так далее. Сколько же выйдет на восьмой клетке?

— На восьмой будет единица минус половина в восьмой степени, то есть

1 — (1/2)⁸ .

— 214 —

Впрочем, можно ведь и так написать:

1 — 1/2⁸

— Можно, — сказал Радикс. — А сколько будет два в восьмой степени?..

— Двести пятьдесят шесть! Значит, из единицы надо вычесть одну двести пятьдесят шестую. Получится двести пятьдесят пять двести пятьдесят шестых.

— Так! Это мы прошли первый ряд клеток. В конце второго ряда…

— Будет единица минус одна вторая в шестнадцатой степени.

— То есть знаменатель шестьдесят пять тысяч пятьсот.

— Можно сказать, сумма равна единице минус одна шестидесятипятитысячная. Вот как ловко! В конце третьего ряда двойка возводится уже в двадцать четвертую степень.

— Это будет примерно семнадцать миллионов.

— Значит, в сумме будет единица минус одна семнадцатимиллионная! А к концу четвертого ряда — это уж половина всей доски — одна вторая в степени тридцать два…

— Знаменатель дроби будет примерно равен четырем биллионам.

— Как быстро растет! Мастерица она, оказывается, расти, эта прогрессия! — воскликнул Илюша. — Значит, к половине доски мы уложим все яблочко, исключая одну четырехбиллионную. Уж не знаю, как же разрезать яблоко на четыре биллиона частей? Ведь биллион — это тысяча миллионов! Ну, а что же будет дальше? Когда мы доберемся до конца доски, то возведем нашу половину в шестьдесят четвертую степень, то есть это будет одна восемнадцатиквинтиллионная! Вот так дробь! Но как же отрезать от яблочка такой малюсенький кусочек?

— Дело не в этом, — отвечал Радикс. — Допустим, что мы уж сумеем отрезать.

— Охотно допускаю! — воскликнул Илюша.

— Но скажи: каким образом ты отличишь целое яблоко от яблока, у которого не хватает… ну, хотя бы одной шестидесятипятитысячной доли, чтобы быть целым? Я уже не говорю о еще более крохотных долях единицы.

— Да-а! Ни в какой микроскоп не усмотришь!

Тут Мишка подошел к Илюше и гордо спросил:

— А если я буду опять расти, как рос раньше, тогда что будет?

— 215 —

— Тогда, — сказал Илюша, — мне кажется, что эта дробь почти совсем не будет отличаться от нуля.

— Верней, — сказал Радикс, — было бы сказать так: если и будет расти до бесконечности, то эта дробь, изменяющая свое значение по закону геометрической прогрессии, может стать сколь угодно малой, то есть, проще сказать, меньше всякой наперед заданной величины. Вот такого-то рода изменяющиеся, переменные величины, которые бесконечно уменьшаются, и называют бесконечно малыми. Но если это так, то, следовательно, нам, чтобы получить нашу сумму, придется вычитать из единицы величину бесконечно малую. Что ни дальше мы двигаемся по нашему ряду, то есть по убывающей геометрической прогрессии, тем ближе подходим к некоторой границе нашего движения. Ясно это тебе или нет?

— Не очень, — признался Илюша.

— Припомни, — сказал Радикс, — припомни-ка хорошенько, как мы с тобой толковали насчет того, что будет происходить с частными от деления единицы на все большие и большие числа. Ясно, что величина частного будет изменяться, то есть это будет величина переменная. Не так ли?

— Так, — согласился Илюша.

— Хорошо, — продолжал Радикс. — И как величина переменная и безгранично уменьшающаяся она имеет в данном случае некоторый предел, к которому она приближается… Ну, как ты скажешь?

— Ясное дело, — отвечал мальчик, — что таким пределом будет нуль. Если взять очень большой делитель, то частное от деления единицы на него станет таким малым, что его от нуля, пожалуй, и не отличишь.

— Совершенно очевидно! — воскликнул Радикс. — И запомни: мы называем бесконечно малой величиной такую переменную величину, которая имеет своим пределом нуль. Бесконечно большая и бесконечно малая тесно связаны друг с другом в том смысле, что если делить единицу на бесконечно большую величину, то получится бесконечно малая, и наоборот. Ну, так что же из всего этого следует в отношении нашей задачи о яблоке и шахматной доске?

— По-моему, вот что: если вычитаемое стало бы нулем…

— Чтобы нам не сбиваться, — поправил его Радикс, — давай говорить так: «Если вычитаемое в пределе превратится в нуль». Тогда все будет ясно.

— Хорошо, — согласился мальчик, — будем говорить так. Значит, если вычитаемое в пределе превратится в нуль, то, следовательно, я буду вычитать из единицы чистый нуль, и останется единица.

— 216 —

— Так! — промолвил Радикс. — Значит, мы выяснили таким образом, что сумма нашей прогрессии все приближается и приближается к единице, так что разность между суммой и единицей может быть сделана меньше любого сколь угодно малого числа. Другими словами, эта разность как угодно близко подходит к нулю. Можно сказать, что когда число членов стремится к бесконечности, сумма стремится к пределу, равному единице. Но у нас, в царстве ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА, говорят, что сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии

1/2 + 1/2² + 1/2³ + …

равна единице.

— Хмм… — промычал недоуменно Илюша. — Все это, конечно, так, но мне пока еще не верится… Вот чего я не пойму: что значит «сумма всех членов»? Ведь их у нас бесконечное множество. Как же их все сложить? Складывать-то я начну, а как и когда я эти все сложения кончу?

— Замечание, не лишенное смысла! — усмехнулся Радикс. — Однако в этом случае нельзя понимать сложение так, как это ты понимал, когда складывал конечное число слагаемых столбиком в первом классе школы. Здесь надо складывать все большее и большее число слагаемых и при этом проследить, найти и определить, к какому ты пределу приближаешься. Вот этот-то предел мы и называем результатом сложения бесконечно большого числа слагаемых, или их суммой.

В этом смысле мы и говорим, что если просуммировать все члены убывающей геометрической прогрессии:

1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/16 + 1/32 + …

— 217 —

то в результате и получится сумма, равная единице. Вот тебе еще пример. Возьмем отрезок, равный единице. Разделим его пополам. Затем правую половину раздели опять пополам, правую четверть дели снова пополам, потом правую восьмую еще раз пополам и так далее. Теперь давай складывать. Если возьмем два слагаемых — половину и четверть, — то до единицы нам не будет хватать четверти. Если возьмем три слагаемых, нам не хватит одной восьмой; если четыре — не хватит одной шестнадцатой и так далее. Ну вот, когда ты будешь увеличивать число слагаемых до бесконечности, то в пределе ты и получишь единицу, то есть тот самый отрезок, равный единице, с которого ты начал. Знай, что одним из первых, кто просуммировал бесконечную убывающую геометрическую прогрессию для решения сложной геометрической задачи, был не кто иной, как Архимед. Вот теперь ты и сам видишь, что мы недаром познакомились с Мишенькой: он помогает нам иной раз сосчитать сумму все уменьшающихся дробей. При этом обрати внимание: сумма получается вовсе не бесконечная, а самая обыкновенная! Как видишь, наше бесконечное чудовище, если оно возьмется за иную задачу, может нам помочь узнать самое обыкновенное конечное число, с которым мы уже можем действовать как нам заблагорассудится.