Укажем несколько типов Н., выполняющихся тождественно в той или иной области изменения входящих в них переменных.

1) Неравенство для модулей. Для любых действительных или комплексных чисел a₁ , a₂ ,..., a_n справедливо Н.

|a₁ + a₂ + … + a_n I £ Ia₁ | + Ia₂ I +... + Ia_n |.

  2) Неравенство для средних. Наиболее известны Н., связывающие гармонические, геометрические, арифметические и квадратические средние:

  3) Линейные неравенства. Рассматривается система Н. Вида

a_i1 x₁ + a_i2 x₂ +... + a_in x_n (b_i ³ i = 1, 2,..., m ).

  Совокупность решений этой системы Н. представляет собой некоторый выпуклый многогранник в n -мepном пространстве (x₁ , x₂ ,..., x_n ); задача теории линейных Н. состоит в том, чтобы изучить свойства этого многогранника. Некоторые вопросы теории линейных Н. тесно связаны с теорией наилучших приближений , созданной П. Л. Чебышевым .

  См. также Бесселя неравенство , Буняковского неравенство , Гельдера неравенство , Коши неравенство , Минковского неравенство .

  Н. имеют существенное значение для всех разделов математики. В теории чисел целый раздел этой дисциплины — диофантовы приближения — полностью основан на Н.; аналитическая теория чисел тоже часто оперирует с Н. В алгебре даётся аксиоматическое обоснование Н.; линейные Н. играют большую роль в теории линейного программирования . В геометрии Н. постоянно встречаются в теории выпуклых тел и в изопериметрических задачах . В теории вероятностей многие законы формулируются с помощью Н. (см., например, Чебышева неравенство ). В теории дифференциальных уравнений используются так называемые дифференциальные Н. (см., например, Чаплыгина метод ). В теории функций постоянно употребляются различные Н. для производных от многочленов и тригонометрических полиномов. В функциональном анализе при определении нормы в функциональном пространстве требуется, чтобы она удовлетворяла Н. треугольника

||х + у || £ ||x || + ||y ||.

  Многие классические Н. в сущности определяют значения нормы линейного функционала или линейного оператора в том или ином пространстве или дают оценки для них.

  Лит.: Коровкин П. П., Неравенства, 3 изд., М., 1966; Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948.

Неравнове'сное состоя'ние, в термодинамике состояние системы, выведенной из равновесия термодинамического ; в статистической физике — из состояния статистического равновесия. В системе, находящейся в Н. с., происходят необратимые процессы , которые стремятся вернуть систему в Состояние термодинамического (или статистического) равновесия, если нет препятствующих этому факторов — отвода (или подвода) энергии или вещества из системы. В противном случае возможно стационарное Н. с. (не изменяющееся со временем). Н. с. изучаются термодинамикой неравновесных процессов и статистической теорией неравновесных процессов.

Неравнове'сные проце'ссы, в термодинамике и статистической физике — физические процессы, включающие неравновесные состояния . Примеры: процесс установления равновесия (термодинамического или статистического) в системе, находившейся ранее в неравновесном состоянии; переход системы из равновесного состояния в неравновесное или из одного неравновесного состояния в другое под влиянием внешних возмущений. В неизолированных системах Н. п. могут протекать стационарно (без изменения физического состояния системы, пример — теплопередача теплопроводностью при постоянной разности температур). Н. п. являются необратимыми процессами , связанными с производством энтропии .

Неравноме'рности экономи'ческого и полити'ческого разви'тия капитали'зма зако'н в эпоху империализма, основное содержание созданного В. И. Лениным, развитого КПСС и др. коммунистическими и рабочими партиями учения об общих закономерностях развития капитализма, международных отношений капиталистических стран в эпоху империализма, о международных условиях победы социалистической революции.

  Неравномерность — диспропорциональность, дисгармоничность, антагонистичная конфликтность — является общей чертой капитализма. «... При капитализме, — писал В. И. Ленин, — немыслимо иное основание для раздела сфер влияния, интересов, колоний и пр., кроме как учет силы участников дележа, силы общеэкономической, финансовой, военной и т.д. А сила изменяется неодинаково у этих участников дележа, ибо равномерного развития отдельных предприятий, трестов, отраслей промышленности, стран при капитализме быть не может» (Полное собрание соч., 5 изд., т. 27, с. 417). Особенность эпохи домонополистического капитализма заключалась в том, что социальные противоречия, назревавшие внутри него, смягчались путём колониальной экспансии в слаборазвитые в экономическом отношении районы мира, массовой эмиграции в переселенческие колонии.

  К началу 20 в. закончился раздел мира, завершился процесс превращения всех стран и территорий, оставшихся на докапиталистических стадиях развития, в колонии и полуколонии империалистических государств. Поскольку этот процесс совпал по времени с превращением капиталистических монополий в господствующую силу экономики отдельных капиталистических стран и мирового рынка, дальнейшее развитие последнего переросло в борьбу за передел уже поделенного мира. Смысл действия закона неравномерности развития заключается в том, что естественная и неизбежная разница в уровне и характере развития различных стран, отраслей экономики, в экономических и политических факторах развития становятся в условиях монополистического капитализма источником острых международных противоречий и конфликтов. На определённых этапах исторического развития эти конфликты выливались в мировые войны.

  В неравномерности экономического и политического развития капиталистических стран в эпоху империализма и в её последствиях Ленин увидел один из факторов, определяющих своеобразие мирового революционного процесса. Он пришёл к выводу, что при неодинаковых уровнях экономической и политической подготовленности разных стран к социалистической революции «... социализм не может победить одновременно во всех странах. Он победит первоначально в одной или нескольких странах, а остальные в течение некоторого времени останутся буржуазными или добуржуазными» (там же, т. 30, с. 133). Крайнее обострение межимпериалистических антагонизмов вылилось в 1-ю мировую войну 1914—18, которая ускорила революционный процесс и способствовала победе Великой Октябрьской социалистической революции. Столкновение интересов империалистов, породившее 2-ю мировую войну 1939—45, вызвало подъём широкого антифашистского движения. Победа Советского Союза, освобождение ряда стран Восточной Европы и Азии от фашистских захватчиков создали условия для подъёма революционного движения народных масс, покончивших в своих странах с капиталистическими порядками, привели к возникновению мировой социалистической системы. Превращение социализма в решающую силу мирового развития сопровождается коренными изменениями в международных отношениях. Главное из этих изменений заключается в том, что возникла возможность исключить мировые войны из жизни общества и что, в частности, в современный период мало оснований считать неизбежным образование противостоящих друг другу империалистических коалиций с перспективой военного столкновения между ними. Исторические законы развития не действуют автоматически, по шаблону. Однако из этого не следует, что в той социальной обстановке, которая их породила, они вообще могут прекратить своё действие. В международных отношениях внутри империалистического лагеря по-прежнему решающую роль играет принцип монополии, господства-подчинения, распределения и перераспределения по силе. Противоречия и острая борьба в рамках политического и экономического партнерства — таковы современные международные отношения империализма.