Обратная функция

Обра'тная фу'нкция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, О. ф. для у = ax + b (а¹0) является х = (у—b)/a, О. ф. для у = е^х является х = ln у и т.д. Если х = j(y) есть О. ф. по отношению к у = f (x), то и у = f (x) есть О. ф. по отношению к х = j(y). Областью определения О. ф. является область значений данной функции, а областью значений О. ф.— область определения данной. Графики двух взаимно обратных функций у = f (x) и у = j (x) (где независимое переменное обозначено одной и той же буквой х), как, например, у = ax + b и у = (х—b)/a, у = е^х и у =  ln х, симметричны по отношению к биссектрисе у = х первого и третьего координатных углов. Функция, обратная по отношению к однозначной функии, может быть многозначной (ср., например, функции х² и

). Для однозначности О. ф. необходимо и достаточно, чтобы данная функция у = f (x) принимала различные значения для различных значений аргумента. Для непрерывной функции последнее условие может выполняться только в том случае, если данная функция монотонна (имеются в виду функции действительного аргумента, принимающие действительные значения). О. ф. по отношению к непрерывной и монотонной функции однозначна, непрерывна и монотонна.

  Если данная функция кусочно монотонна, то, разбивая область её определения на участки её монотонности, получают однозначные ветви О. ф. Так, одним из участков монотонности для sin х служит интервал — p/2< x < p/2; ему соответствует т. н. главная ветвь arc sin х обратной функции Arc sin х. Для пары однозначных взаимно обратных функций имеют место соотношения j[f (x)]=x и f [j(x)] = х, первое из которых справедливо для всех значений х из области определения функции f (x), а второе — для всех значений х из области определения функции j (x); например, e^lnx= х (х > 0), 1n (e^x) = х (— ¥ < х < ¥). Иногда функцию, обратную к f (x) =у, обозначают f^{- -1}(y) = х, так что для непрерывной и монотонной функции f (x):

  F ^-1[f (x)]=f [f  ^-1) x)]=x.

  Вообще же f ^--1[f (x)] представляет собой многозначную функцию от х, одним из значений которой является х; так, для f (x) = x², х (¹ 0) является лишь одним из двух значений f ^--1[f (x)] = √x² (другое: —х); для f (x) = sin х, х является лишь одним из бесконечного множества значений

f^{- -1}[f (x)] = Arc sin [sin x] = (—1) ⁿ x + np,

n = 0, ± 1, ± 2,....

  Если у = f (x) непрерывна и монотонна в окрестности точки х = x и дифференцируема при х = x, причём f'(x) ¹ 0, то f ^--1(y) дифференцируема при у = у и

(формула дифференцирования О. ф.). Так, для —p/2 < х < p/2, у = f (x) = sin х непрерывна и монотонна, f’(x) = cos х ¹ 0 и f^{- -1}(y)= arc sin у (—1< y <1) дифференцируема, причём

где имеется в виду положительное значение корня (так как cos х > 0 для —p/2 <  х <  p/2).

Обратно пропорциональные величины

Обра'тно пропорциона'льные величи'ны, две величины, связанные между собой так, что с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. О. п. в. х и у связаны соотношением ху = k (то есть х =

 и у =

, где k постоянно).

Обратное требование

Обра'тное тре'бование, см. Регрессный иск.

Обратное число

Обра'тное число', число, произведение которого с данным числом равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, например, 5 и

,  и  и т.д. Для всякого числа а, не равного нулю, существует обратное .

Обратные гиперболические функции

Обра'тные гиперболи'ческие фу'нкции, функции, обратные по отношению к гиперболическим функциямsh х, ch х, th х; они выражаются формулами

 (*)

  (читается: ареа-синус гиперболический, ареа-косинус гиперболический, ареа-тангенс гиперболический). Эти обозначения происходят от лат. area — площадь (гиперболические функции могут рассматриваться как функции площади гиперболического сектора). Производные О. г. ф. имеют вид

,

,

.

  Поэтому О. г. ф. часто появляются при интегрировании рациональных дробей и квадратичных иррациональностей.

  О. г. ф., рассматриваемые в комплексной области, многозначны. Их однозначные ветви (главные значения) получаются, если в формулах (*) брать для логарифма его главные значения; они обозначаются ar sh z; ar ch z, ar th z. Главные значения О. г. ф. связаны с главными значениями обратных тригонометрических функций формулами

,

,

.

Обратные тригонометрические функции

Обра'тные тригонометри'ческие фу'нкции, аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х («арксинус x») — функция, обратная sin х; 2) Arc cos x («арккосинус x») — функция, обратная cos х; 3) Arc tg x («арктангенс x») — функция, обратная tg х; 4) Arc ctg x («арккотангенс x») — функция, обратная ctg x; 5) Arc sec x («арксеканс x») — функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x («арккосеканс x») — функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, например, х = Arc sin a есть любое решение уравнения sin х = a, т.е. sin Arc sin a = a. Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для |х| £ 1, функции Arc tg х и Arc ctg х — для всех действительных х, а функции Arc sec х и Arc cosec х:—для |х| ³ 1; две последние функции малоупотребительны.