«Начала» Евклида в течение многих веков служили классическим образцом математической строгости и последовательности. Однако были здесь и неблагоприятные для дальнейшего развития математики факторы. Изложение – чисто геометрическое, даже числа представлены как отрезки. Средства геометрического построения, по существу, ограничены только циркулем и линейкой. В «Началах» нет теории конических сечений, алгебраических и трансцендентных кривых, отсутствуют вычислительные методы.
Тем временем при построении математических теорий в Византии выделился специфический класс проблем, для решения которых оказалось необходимым исследовать предельные переходы, бесконечные процессы, непрерывность и т. п. Появилась математика атомистических философских воззрений. Согласно этим взглядам, все тела состоят из бесконечно малых атомов – первовеличин. Эти идеи стали источником представлений о бесконечно малых и о применении их к определению геометрических величин.
Однако о математической стороне подобных высказываний и исследований почти ничего неизвестно. Гораздо больше известно о возражениях противников этих идей. Мы имеем в виду апории Зенона, те логические парадоксы, к которым приводят попытки получать непрерывные величины из бесконечного множества бесконечно малых частиц.
Среди апорий наиболее известны: а) дихотомия, то есть невозможность осуществить движение, так как путь может быть делим до бесконечности (пополам, еще раз пополам и т. д.) и поэтому надо последовательно преодолевать бесконечное множество участков пути; б) Ахиллес, который не может догнать черепаху, так как ему надо последовательно достигать тех мест, где только что находилась черепаха, тем самым исчерпывать бесконечную последовательность отрезков пути; в) полет стрелы делается невозможным, если время считать суммой дискретных мгновений, а пространство – суммой дискретных точек.
Апории Зенона показывали, что, если искать точные доказательства и логически исчерпывающие решения задач, нельзя пользоваться бесконечностью, опираясь на наивные атомистические соображения. Для подобных целей необходимо разрабатывать и привлекать методы, содержащие наряду с разновидностями суждений о бесконечно малых элементы предельного перехода.
Одним из самых ранних методов такого рода является метод исчерпывания. Изобретение его обычно приписывают Евдоксу, а примеры употребления находятся в двенадцатой книге «Начал» Евклида и в ряде сочинений Архимеда. Метод исчерпывания применялся при вычислении площадей фигур, объемов тел, длин кривых линий, нахождении подкасательных к кривым и т. п.
Однако метод был еще весьма несовершенным; и он развивался только в связи с конкретными задачами. Он не приобрел вида абстрактного метода, имеющего развитую систему исходных понятий и единообразные алгоритмы. Единственность предела доказывалась для всякой задачи заново. Этот недостаток не был частным, случайным. Дело в том, что всякая попытка ввести доказательство раз и навсегда для определенного, достаточно широкого класса задач неизбежно влекла за собой необходимость дать рациональное объяснение понятию бесконечно близкого приближения, бесконечно малой величины и т. п. Трудностей, связанных с этим, математики того времени не могли преодолеть.
Тем не менее метод исчерпывания лежал в основе многих конкретных достижений античных математиков, в первую очередь приписываемых Архимеду. До нас дошли десять сравнительно крупных и несколько мелких его сочинений математического характера, написанных преимущественно в виде писем. Основной их особенностью является применение строгих математических методов к разработке экспериментально-теоретического материала из области механики и физики. И вот, в соответствии с научной традицией своего времени Архимед переводил доказательства, полученные методом механической аналогии, на общепринятый язык метода исчерпывания с обязательным завершением последнего, в каждом отдельном случае, доказательством от противного.
Следующей разновидностью методов бесконечно малых является метод, который можно охарактеризовать как метод интегральных сумм. Наиболее яркие примеры применения этого метода находятся в сочинениях Архимеда: «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах». Сущность этого метода в применении, например, к вычислению объемов тел вращения состоит в следующем: тело вращения разбивается на части и каждая часть аппроксимируется описанным и вписанным телами, объемы которых можно вычислить. Сумма объемов описанных тел будет больше, а сумма вписанных тел – меньше объема тела вращения. Теперь остается выбрать аппроксимирующие сверху и снизу тела таким образом, чтобы разность их объемов могла быть сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве указанных тел соответствующих цилиндриков. Единственность предела доказывается, как и во всех других случаях, приведением к противоречию.
Может показаться, что метод интегральных сумм древних и метод определенного интегрирования имеют много общего. Это происходит оттого, что мы излагаем тему современным языком. Но это не так.
Метод интегральных сумм древних опирается на интуитивное, строго не определенное понятие площади и не использует арифметико-алгебраического аппарата. В нем не введены и не определены необходимые общие понятия: предела, интеграла, бесконечной суммы, и не изучены условия применимости высказываемых теорем. Словом, метод применяется индивидуально для каждой конкретной задачи без выделения и оформления его общетеоретических основ.
Наряду с методом интегральных сумм в математике были разработаны и другие, которые ретроспективно могут быть оценены как дифференциальные методы. Примером может служить метод нахождения касательной к спирали в сочинении Архимеда «О спиралях».
Но широкое использование этот метод получил значительно позже, когда в XVI–XVII веках Паскаль, Барроу и Лейбниц создавали свое исчисление дифференциалов. Поэтому не исключено, что работы Архимеда имеют даже существенно более позднее происхождение, чем мы можем предположить. Ведь они послужили исходным пунктом многих исследований ученых-математиков XVI и XVII веков. Лейбниц, один из основателей математического анализа, по этому поводу писал: «Изучая труды Архимеда, перестаешь удивляться успехам современных математиков».
Вернемся к коническим сечениям. Интерес к ним возрастал по мере увеличения количества решаемых с их помощью задач. Свойства конических сечений стали предметом специального теоретического исследования; им был посвящен ряд сочинений. Однако, подобно тому, как это имело место и с «Началами» Евклида, все эти сочинения были забыты, когда появился труд александрийца Аполлония «Конические сечения».
Первые четыре книги этого труда сохранились на греческом языке, следующие три в арабском переводе, а последняя книга утеряна. Аполлоний первым ввел эллипс, параболу и гиперболу как произвольные плоские сечения произвольных конусов с круговым основанием и детально исследовал их свойства. Метод Аполлония состоял в отнесении кривой к какому-либо ее диаметру и сопряженным с ним хордам и предвосхищал созданный в XVII веке метод координат. «Конические сечения» Аполлония оказали огромное влияние на развитие наук Нового времени – астрономии, механики, оптики. Из положений Аполлония исходили при создании аналитической геометрии Декарт (1596–1650) и Ферма (1601–1655).
Мы видим, что большинство математических теорий до какого-то времени имело своим предметом геометрические объекты. Дело в том, что геометрические величины представлялись имеющими преимущество наибольшей общности в классе математических величин. Хотя, разумеется, нет оснований утверждать, что геометрические формы исчерпывали всю совокупность форм математической деятельности. Греки Византии в практической области применяли большой комплекс арифметико-вычислительных методов. Этот комплекс проникал и в теоретические работы, дополняя теорию арифметико-алгебраическими и теоретико-числовыми элементами.
Но неудобства алфавитной системы счисления и неразработанность символов мешали развитию вычислительных операций. Да и требования практики не были достаточными, чтобы стимулировать операции с весьма большими числами. Вслед за сравнительно ограниченным набором чисел, имеющих названия, довольно быстро наступал порог, после которого число элементов практически представлялось неисчислимым.
