Влияние алгоритмически-вычислительной направленности арабской математики отразилось и на ее структуре. В ней сравнительно быстро, впервые в истории, выделилась в качестве самостоятельной математической науки алгебра. В этом факте нашло свое выражение слияние элементов алгебраического характера математики различных народов, например: геометрическая алгебра византийцев, группировка однотипных задач и попытка выработать для каждой группы единый алгоритм в Вавилоне, вычислительные задачи индийцев, приводившие к уравнениям 1-й и 2-й степени, и т. п.

В трудах математиков средневекового Востока эти алгебраические элементы были впервые выделены, собраны в новый специальный отдел математики, сформулирован предмет этого нового отдела науки и построена систематическая теория. В качестве примера такого подхода приведем высказывание Омара Хайяма:

«Алгебра есть научное искусство. Ее предмет – это абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-либо известной вещи так, что их можно определить; эта известная вещь есть количество или индивидуально определенное отношение, и к этой известной вещи приходят, анализируя условия задачи; в этом искусстве ищут соотношения, связывающие данные в задачах величины с неизвестной, которая вышеуказанным образом составляет предмет алгебры. Совершенство этого искусства состоит в знании математических методов, с помощью которых можно осуществить упомянутое определение как числовых, так и геометрических неизвестных… Алгебраические решения… производятся лишь с помощью уравнения, то есть приравниванием одних из этих степеней другим».

Европейские ученые начали знакомиться с алгеброй в начале XII века, а источником их сведений явилось сочинение «Китаб аль-Джебр валь-Мукабала» Мухаммеда бен-Муса ал-Хорезми, жившего в первой половине IX века. Название в переводе означает: книга об операциях джебр (или гебр, восстановление) и кабала (приведение). Первая из операций, имя которой послужило названием для алгебры и служит до сего времени, состоит в переносе членов уравнения из одной стороны в другую. Вторая есть операция приведения подобных членов уравнения. Решение уравнений рассматривается как самостоятельная наука.

Книга Хорезми пользовалась большой известностью. Термин алгебра укоренился в математике. Осталось в этой науке и имя автора (аль-Хорезми) в латинизированном виде: алгоритм. Вначале это слово обозначало фамилию, затем нумерацию по позиционной системе, а теперь – всякую систему вычислений, производимых по строго определенным правилам и заведомо приводящих к решению поставленной задачи. В ходе развития науки изменялось содержание понятий, вложенных в эти термины, но термины сохранились.

Но сам Хорезми никогда не высказывался о своем приоритете в алгебре. Видимо, оба приема – джебр и кабала – были уже широко распространены в его время.

Алгебраические арабские трактаты IX–XV веков, помимо решения уравнений 1-й и 2-й степени, включали в себя и кубические уравнения. К последним приводили разнообразные задачи:

а) рассечение шара плоскостью; б) трисекция угла; в) отыскание стороны правильного 9-угольника; г) отыскание стороны правильного 7-угольника и другие.

Одна из задач оптики: найти на данной окружности такую точку, чтобы луч, падающий из данной точки A, отразился в другую заданную точку В, приводила к уравнению 4-й степени.

В методах решения кубических уравнений отразилось многообразие средств, обычно присущее математике арабских ученых. Численные же решения уравнений развивались, начиная со способа проб (разработан Бируни, 972-1048) до изящного итерационного, быстро сходящегося, метода (Каши, ок. 1420).

Помимо выделения алгебры, важнейшей характерной чертой арабской математики было формирование тригонометрии. И в этой области происходил синтез разнообразных тригонометрических элементов: исчисление хорд и соответственные таблицы предшествующих ученых, в особенности результаты Птолемея и Менелая, операции с линиями синуса и косинуса у индийцев, накопленный опыт астрономических измерений.

Используя этот разнородный материал, математики стран Ближнего Востока и Средней Азии ввели все основные тригонометрические линии. В связи с задачами астрономии они составили таблицы тригонометрических функций с большой частотой и высокой точностью. Данных накопилось при этом так много, что стало возможным изучать свойства плоских и сферических треугольников, способы их решений. Получилась стройная система тригонометрии как плоской, так и сферической. Ее представляет, например, сочинение Насирэддина (1201–1274) «Трактат о полном четырехстороннике».

Тригонометрия в математике средневекового Востока приобрела положение отдельной математической науки. Из совокупности вспомогательных средств астрономии она преобразовалась в науку о тригонометрических функциях в плоских и сферических треугольниках и о способах решения этих треугольников. Алгоритмически-вычислительные средства стали играть в ней преобладающую роль. Оставался один только шаг: введение специфической символики, чтобы тригонометрия приобрела привычный нам аналитический облик. Однако для этого шага понадобилось много времени! Дальнейшее развитие эта наука получила со второй половины XVI века в Европе, в первую очередь под влиянием запросов мореплавания и астрономии. В конце этого века появилось и название науки – «тригонометрия», от греческого измерение треугольников.

В ряду геометрических сочинений обращают на себя внимание глубокие исследования по основаниям геометрии. В сочинениях Хайяма и Насирэддина мы находим попытки доказательства постулата о параллельных, основанные на введении эквивалентных этому постулату допущений. Имена этих математиков с полным правом могут быть помещены историками в длинном ряду предшественников неевклидовой геометрии.

Примерно в середине XV века развитие математических наук в описываемых нами здесь арабских регионах замедляется и прекращается. Причины этого явления лежат вне математики: они – в наступившем экономическом разобщении обширных территорий, о которых шла речь выше.

В Западной Европе математика не имеет столь древнего происхождения, как в странах Ближнего и Дальнего Востока. Заметные успехи появились тут лишь в эпоху позднего Средневековья и особенно Возрождения. А основной организационной предпосылкой развития математики в Европе стало открытие учебных заведений. Одно из первых организовал во французском городе Реймсе Герберт (940-1003), позже ставший римским папой с именем Сильвестр II.

Французский монах Герберт из Орильяка – первый профессиональный ученый католической Европы. В 970-е годы он поселился в Барселоне, выучил арабский язык и начал беседовать с учеными иноверцами обо всем на свете. Астрономия и арифметика, изготовление бумаги и музыкальных инструментов – во всем этом жители Андалузии превосходили лучших мастеров Франции или Италии, и все это Герберт старался перенять. Через пять лет он сделал очередной шаг: направился в центр Андалузии – Кордову и три года учился у местных мудрецов. Ему не раз предлагали принять ислам. Но у него была другая цель: соединить арабскую мудрость, ученость древних греков и римлян с христианским богословием; сделать этот сплав достоянием всех католиков.

Вернувшись во Францию, Герберт устроил в городе Реймсе училище по своему вкусу. В нем юноши обучались латыни и греческому, а желающие – также арабскому и древнееврейскому языкам. Кроме этого, преподавались астрономия и музыка, арифметика на основе арабских цифр. Все необходимые приборы строил сам Герберт с помощью учеников. Герберт привез с собой много книг из-за Пиренеев; это были Платон и Аристотель, Евклид и Птолемей, множество арабских рукописей.