В этой игре нет уравнения Нэша для чистой стратегии – у игроков нет возможности получить максимальную выгоду одновременно.

Давайте взглянем на уравнения смешанной стратегии, где каждый игрок делает свой выбор с определенной вероятностью (мы снова будем исходить из того, что в этой игре много раундов). Игрок подбрасывает монетку, чтобы решить, двигать ему фишку вверх или вниз. В результате он случайным образом выбирает то или иное направление в 50 % случаев. Следовательно, ожидаемый выигрыш при передвижении фишки влево составит:

При передвижении фишки вправо ее ожидаемый выигрыш будет равен:

Поэтому, если игрок подбрасывает монетку, чтобы решить, двигать ему фишку вверх или вниз, он должен выбрать движение фишки вправо в качестве чистой стратегии, потому что в этом случае ожидаемый выигрыш будет выше, чем при передвижении фишки влево. Поскольку он это знает, то не собирается делать рандомизированный выбор, подбрасывая монетку.

Как мы уже видели, анализ с помощью теории игр позволяет воспользоваться алгеброй для создания идеального уравнения Нэша для смешанной стратегии. Снова выявляем точку безразличия соперников среди прочих чистых стратегий. Вероятность того, что игрок («он») передвинет фишку вверх, становится неизвестной величиной ?_Вверх, которую мы должны определить. Если он будет двигать фишку вверх с вероятностью ?_Вверх, которая уже известна, вниз ему придется двигать фишку с вероятностью (1 – ?_Вверх). Поэтому мы вычисляем ожидаемый выигрыш для другого игрока (для «нее») следующим образом:

Теперь примем, что ЕР_влево = ЕР_вправо, чтобы вычислить значение ?_Вверх, которое сделает ее безразличной к сделанному ею выбору. Вот эти вычисления:

ЕР_влево = ЕР_вправо

Обобщим все вышесказанное. Если он двигает фишку вверх с вероятностью 1/6 и вниз с вероятностью 5/6, с точки зрения ожидаемых выигрышей она остается безразличной. Более того, она не может сыграть лучше, передвигая свою фишку влево или вправо, когда он пользуется смешанной стратегией.

Теперь давайте посмотрим на ситуацию с точки зрения ее действий и его выигрышей. Вычислим вероятность того, что она передвинет фишку влево, ?_Влево и вправо, ?_Вправо, чтобы он был безразличен к ее смешанной стратегии. Начнем с вопроса, какими будут его ожидаемые выигрыши.

Затем находим вероятность равноценности (indifference probability) ?_Влево с помощью следующего уравнения:

Мы обнаружили, что он будет оставаться безразличным к ее смешанной стратегии, если она передвинет фишку влево с вероятностью 1/3, а вправо – с вероятностью 2/3.

Если мы соединим смешанные стратегии обоих игроков, получим уравнение Нэша для смешанной стратегии для игры в целом. Следовательно, даже при условии, что у нас нет уравнения Нэша для чистой стратегии, игра позволяет составить уравнение смешанной стратегии.

Эта стратегия работает и в отношениях, когда партнеры обмениваются с некоторой вероятностью различными поведенческими проявлениями: улыбками, совместным поеданием обеда или предложениями заняться сексом. То, что решение уравнения Нэша для игры может существовать, даже когда чистая стратегия невозможна, открывает большие возможности. Мы можем применить это уравнение к принятию и отклонению предложения заняться сексом с партнером.

Давайте вернемся к Эмми и Яну. Каждый день один из них предлагает партнеру заняться сексом. Исходя из того, что они получают одинаковые выигрыши, мы получаем следующую матрицу выигрышей:

Ян и Эмми ставят максимальную оценку (5, 5), соглашаясь на секс. Им нравится секс, и они хотят заниматься им как можно чаще. Они ставят друг другу низкие отметки (0, 0), отказываясь от секса. Это имеет смысл. В смешанных ячейках таблицы, где Эмми соглашается, а Ян отказывается, она чувствует себя несчастной, отверженной, поэтому ее выигрыш составляет -1, а выигрыш Яна – 1. Это указывает на то, что она чувствует себя отвергаемой, а он чувствует себя нормально. Этот результат симметричен – если Эмми отказывается, а Ян соглашается, она получает 1, а он – 1. Что выглядит вполне разумной психологической конфигурацией повторяющегося набора вероятностей. Это соответствует ситуации нашей гипотетической пары.

Прекрасно, но существуют ли уравнения Нэша для чистой стратегии – способы для обоих «игроков» получить наилучший результат? На самом деле, есть только один вариант.

Давайте взглянем на возможные варианты с точки зрения Яна:

Пятерка однозначно получает звездочку. А вот как выглядит таблица, если Ян отказывается заняться сексом:

В данном случае звездочку получает 1.

Вот как выглядит ситуация с точки зрения Эмми:

Здесь звездочку явно получает 5.

Если она отказывается от секса:

На этот раз звездочку получает 1.

Итак, сведем всё воедино:

Следовательно, существует лишь одно уравнение Нэша для чистой стратегии – то, где оба соглашаются на секс. Ничего удивительного!

Все, о чем мы говорили выше, имеет смысл. Но сейчас нам нужно выяснить вероятность того, что каждый партнер согласится на секс, а также ожидаемую частоту занятий сексом для этой пары.

Мы можем вычислить точку безразличия для Яна с помощью приведенных ниже матриц:

И: