Если вкратце: существует бесконечное множество чисел.

Замечательный факт в этом утверждении состоит в том, что нет числа под названием «бесконечность», которое больше чем все остальные. Совсем наоборот: дело в том, что нет самого большого числа. Так что, хоть процесс счёта в принципе может продолжаться вечно, число, до которого вы добрались на каждом определённом этапе, является конечным. «Конечный» означает, что вы можете досчитать до этого числа и остановиться.

Как сказали бы философы: подсчёт это пример потенциальной бесконечности. Это процесс, который может длится вечно (или по крайней мере, так кажется нашим наивным умам), но никогда не достигнет «вечности».

Развитие новых математических идей обычно происходит согласно модели. Если бы математики строили дом, они начали бы со стен нижнего этажа парящих на высоте фута над влагостойким покрытием или там где это покрытие должно быть. Там не было бы дверей и окон, а просто отверстия правильной формы. Со временем добавился бы второй этаж, качество кладки замечательно бы улучшилось, стены внутри были бы отштукатурены, все двери и окна были бы на своих местах, а пол был бы достаточно прочным, чтобы по нему можно было пройти, не провалившись. Третий этаж был бы огромным, сложным, полностью покрытым коврами, на стенах висели бы картины, в комнатах было бы огромное количество мебели впечатляющего не совместимого друг с другом дизайна, в каждой комнате было бы шесть различных видов обоев… Чердак напротив был бы скромен, но элегантен — минималистичный дизайн, ничего лишнего и всё на своих местах. Тогда и только тогда они вернуться к нижнему этажу, выкопают фундамент, зальют его бетоном, проложат водонепроницаемый слой и будут достраивать стены вниз пока не дойдут до фундамента.

В конце вы получите дом, который не развалится. Хотя большую часть времени, потраченного на его стройку, он выглядел бы совершенно не вероятным. Но строители, в азарте возводя стены вверх и заполняя комнаты предметами интерьера, были слишком заняты чтобы это заметить пока строительные инспекторы не ткнули их носом в структурные недостатки.

Когда возникают новые математические идеи, никто не понимает их достаточно хорошо, что в принципе нормально, поскольку они новые. И никто не делает больших усилий чтобы разобраться во всех логических деталях, пока не убедится что идея будет стоящая. Таким образом, основные направления исследований состоит в развитии этих идей, если они ведут к чему-нибудь интересному. Для математика «интересно» в основном означает «могу я найти способы протолкнуть все это дальше?», но лакмусовой бумажкой в этом случае является вопрос «какие проблемы это сможет решить?» Только после получения удовлетворительных ответов на оба эти вопроса несколько упорных и педантичных душ спускаются в подвал решают проблему достойного основания.

Математики использовали бесконечность задолго до того как догадались что это такое и как использовать её на благо. В V в. до н. э., Архимед, выдающийся греческий математик и серьезный претендент на призовое место среди самых выдающихся учёных все времён, разработал способ нахождения объема сферы при помощи (концептуальной) нарезки её на бесконечное число бесконечно тоненьких дисков, подобно тонко-тонко нарезанному хлебу, затем взвешивая их чтобы сравнить их общий объем с объемом подходящего тела, который он уже знал. Как только он получит ответ при помощи этого удивительного метода, он вернулся к началу и нашёл логически приемлемый способ доказать свою правоту. Но без всей этой возни с бесконечностью, он не узнал бы где начать, а его логическое основание так и не сдвинулось бы с мертвой точки.

Ко времени Леонарда Эйлера, настолько продуктивного автора, что его можно считать Терри Пратчеттом математики восемнадцатого века, многие из ведущих математиков возились с «бесконечными рядами» — кошмаром любого школьника о сумме, которая никогда не заканчивается. Вот например:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +…, где двоеточие означает «и так далее». Математики пришли к выводу, что эта сумма не сводится ни к чему толковому, хотя в результате должна составлять два.[61] Если вы остановитесь на каком-либо конечном этапе, то получите нечто меньшее чем два. Но сумма отставания продолжает уменьшаться. Сумма вроде как подбирается к правильному ответу, но в действительности его не достигает. Однако то количество, на которое отстаёт можно можно сократить насколько позволит ваше желание и время.

Ничего не напоминает? Выглядит подозрительно похоже на один из парадоксов Зенона/Ксено. О том как стрела подкрадывается к своей цели, как Ахиллес догоняет черепаху. О том, что вы можете делать бесконечно многое за конечный промежуток времени. Сделайте первое дело. Спустя одну минуту сделайте второе. Спустя ещё полминуты сделайте третье… и так далее. Всего за две минуты вы сделаете бесконечно многое.

Понимание того, что бесконечные суммы имеют разумное значение, это только начало. Оно не развеивает всех парадоксов. По большей части оно только их обостряет.

Математики выяснили, что некоторые бесконечности безопасны, а другие нет.

Единственный вопрос, который возникает после такой блестящей догадки это: как вы узнали? Ответ в том, что если ваше понятие бесконечности не приводит к логическим противоречиям, тогда бесконечность безопасна, а если приводит — то нет. Ваша задача это дать разумный ответ на то, какая «бесконечность» вас интересует. Вы не можете предположить что она автоматически имеет смысл.

Не смотря на то, что на протяжении восемнадцатого и начала девятнадцатого века математики разработали очень много понятий «бесконечности», все они являются потенциальными. В проективной геометрии «бесконечно удалённая точка» это место где пересекаются две параллельные прямые, подобно тому как рельсы железной дороги сходятся на горизонте, и кажется что на горизонте они пересекаются. Но если по равнине едет поезд, горизонт бесконечно удаляется, и вообще не является частью равнины, а только оптическая иллюзия. Так что точка в бесконечности определятся бесконечным процессом движения по железнодорожным путям. Поезд никогда туда не приедет. В алгебраической геометрии круг заканчивается тем, что можно определить как «коническое сечение, которое проходит через две мнимых бесконечно удалённых точки», которое легко можно воссоздать с помощью пары циркулей.

Математики достигли общего консенсуса и он сводится к следующему. Всякий раз, когда вы используете термин «бесконечность», вы действительно подразумеваете процесс. Если этот процесс порождает четко определённый результат, но в связи со сложными интерпретациями, результат имеет значение, для которого в данном контексте вы используете слово «бесконечность».

Бесконечность это процесс зависящий от контекста. Она потенциальна.

И не может оставаться такой и дальше.

В конце девятнадцатого века Дэвид Гилберт был один из двух величайших математиков мира и был одним из величайших энтузиастов нового подхода к бесконечности, в котором, вопреки тому, что мы вам сейчас сказали, бесконечность рассматривается как предмет, а не процесс. Новый подход был детищем Георга Кантора, немецкого математика, чьи работы привели его на территорию чреватыми логическими ловушками. На протяжении века целая область оставалась запутанной. В конце концов он решил разобраться раз и навсегда решив сперва построить фундамент. Он был не единственным, кто делал это, но был одним из самых радикальных. Ему удалось разобраться в области, которая привела его к таким отрезкам времени, но только за счёт возникновения проблем в другом месте.

Многие математики ненавидели идеи кантора, но Гилберту они нравились, и он активно их защищал. «Никто», — заявлял он — «не сможет изгнать вас их рая, который создал Кантор». Это конечно же было настолько парадоксально как и сам рай. Гилберт объяснял некоторые их парадоксальных свойств бесконечности в терминах вымышленного отеля, теперь известного как отель Гилберта.