30. Понятия натуралиста о пространстве и времени суть наиболее простые понятия. Пространственные и временные объекты, соответствующие их требованиям, могут быть устроены с большой точностью. Почти каждое отклонение, которое еще может быть замечено, возможно устранить. Каждое построение в пространстве или времени можно мыслить осуществленным, не делая насилия над фактами. Прочие физические свойства тел настолько зависят друг от друга, что произвольные фикции находят здесь тесные рамки в фактах. Идеального газа, идеальной жидкости, абсолютно упругого тела не существует; физику известно, что его фикции соответствуют фактам только приблизительно, произвольно упрощая их; ему известны отклонения, которые не могут быть устранены. Шар, плоскость и т. д. можно мыслить сделанными с какой угодно точностью, не противореча никаким фактам. Если поэтому какой-нибудь физический факт требует видоизменения наших понятий, физик охотнее жертвует менее совершенными понятиями физики, чем более простыми, более совершенными и устойчивыми понятиями геометрии, составляющими самую твердую основу всех его построений.

31. Но, с другой стороны, физик может извлечь существенную пользу из работ геометров. Наша геометрия относится всегда к объектам чувственного опыта. Но если мы оперируем с абстрактными вещами, как то: атомами и молекулами, которые по самой природе своей не могут быть даны нашим чувствам, мы не имеем более никакого права обязательно мыслить эти вещи в отношениях, в относительных положениях, соответствующих евклидову трехмерному пространству нашего чувственного опыта. Эго в особенности должен принимать во внимание тот, кто считает атомистические теории необходимыми.

32. Вернемся к происхождению геометрии из практической потребности. Познание пространственной субстанциональности, пространственного постоянства протяженной вещи, несмотря на ее движения, является для нас биологически необходимым, ибо существует некоторая связь между пространственным количеством и количеством удовлетворения потребности. Поскольку это знание не обеспечено достаточно самой нашей физиологической организацией, мы употребляем наши руки и ноги для сравнения с протяженным объектом. Но пользуемся ли мы для сравнения нашими руками или искусственным масштабом, раз мы сравниваем тела между собой, мы уже вступили в область физики. Все физические определения относительны. Так и все геометрические определения имеют значение, относительное к масштабу. Понятие меры есть понятие отношения, которое ничего не говорит нам о самом масштабе. В геометрии мы только принимаем, что масштаб всегда и везде остается равным тому, чему он где-либо и когда-либо оказался равным. Относительно самого же масштаба здесь не высказано ничего. Этим на место пространственного физиологического равенства выступает совершенно иначе определяемое физическое равенство, которое также не следует смешивать с первым, как нельзя отождествлять показания термометра с тепловыми ощущениями. Правда, практический геометр констатирует расширение нагретого масштаба масштабом, остающимся при постоянной температуре, и обращает внимание на то, что вследствие такого постороннего пространству физического обстоятельства указанное выше отношение равенства нарушается. Однако для чистой геометрии всякое предположение относительно масштаба чуждо. Молчаливо, но без достаточного основания, сохраняется привычка, обусловленная только физиологически, считать масштаб постоянным. Было бы совершенно бесплодно и не имело бы никакого смысла, если бы мы приняли, что масштаб, а следовательно, и тела вообще с перемещением в пространстве претерпевают изменения или остаются неизменными: ведь все это могло бы быть констатировано опять только при помощи нового масштаба. Из этих соображений обнаруживается относительность всех пространственных отношений.

33. Если критерий пространственного равенства существенно изменяется уже введением мер, то с введением понятия числа в геометрию он претерпевает дальнейшее изменение, становится точнее. Этим обусловливается большая тонкость различий, какую простое понятие совмещения никогда не могло бы дать. Только применение арифметики к геометрии приводит к понятиям несоизмеримого, иррационального. Таким образом, в наших геометрических понятиях имеются чуждые пространству примеси; они изображают пространственное с некоторой свободой и именно с произвольной большей точностью, чем то может быть достигнуто пространственным наблюдением. Неполный контакт между фактами и понятиями делает возможными разные геометрические системы (теории). То же самое можно сказать и относительно физики.

34. Все развитие, приведшее к перевороту в понимании геометрии, следует признать за здоровое и сильное движение. Подготовляемое столетиями, значительно усилившееся в наши дни, оно никоим образом не может считаться уже законченным. Напротив, следует ожидать, что движение это принесет еще богатейшие плоды — и именно в смысле теории познания — не только для математики и геометрии, но и для других наук. Будучи обязано, правда, мощным толчкам некоторых отдельных выдающихся людей, оно, однако, возникло не из индивидуальных, но общих потребностей. Это видно уже из одного разнообразия профессий людей, которые приняли участие в движении. Не только математики, но и философы и дидактики внесли свою долю в эти исследования. И пути, проложенные различными исследователями, близко соприкасаются. Мысли, высказанные Лейбницем, встречаются вновь в мало измененной форме у Фурье, Лобачевского, Я. Бояи, Х. Эрба. Философ Ибервег, который в своей оппозиции против Канта примыкал по существу к психологу Бенеке, а своими геометрическими рассуждениями — к Х. Эрбу (в свою очередь называющему своим предшественником К.А. Эрба), своими исследованиями в значительной мере расчистил почву для работ Гельмгольца.

35. Результаты, к которым привели нас предыдущие рассуждения, можно сжато выразить так:

1) Опыт был признан источником наших геометрических понятий.

2) Была выяснена множественность понятий, удовлетворяющих одним и тем же геометрическим фактам.

3) Сравнением пространства с другими многообразиями были получены более общие понятия, для которых понятия геометрические составляют частный случай. Этим геометрическое мышление было освобождено от традиционных границ, считавшихся непереходимыми.

4) Указанием многообразий, родственных пространству, но от него отличных, были возбуждены совершенно новые вопросы:

Что такое пространство физиологически, физически, геометрически? К чему сводятся его особые свойства, так как мыслимы и другие? Почему пространство трехмерно? и т.д.

36. Эти вопросы, решения которых невозможно ожидать ни сегодня и ни завтра, изображают перед нами всю глубину того, что подлежит еще исследованию. Не будем вовсе говорить о суждениях непризванных «беотийцев», появление которых предвидел Гаусс и которые настраивали его к такой сдержанности. Но что нам сказать о той суровой придирчивой критике, которой подверглись мысли Гаусса, Римана и их товарищей со стороны людей, занимающих выдающееся положение в науке? Неужели им на себе самих не пришлось никогда испытать того, что исследователь на крайних границах знания находит часто то, что не может быть гладко и немедленно усвоено каждым умом и что тем не менее далеко не бессмысленно? Конечно, и такие исследователи могут впадать в ошибки. Но и ошибки иных людей бывают нередко по своим последствиям плодотворнее, чем открытия других. (С. 76-84)

А. Пуанкаре (Poincari) известный французский математик и методолог науки. Докторскую степень получил в Национальной высшей школе, с 1881 года до конца жизни преподавал в Сорбонне, был президентом Французской академии наук. Автор многих работ в областях теоретической и прикладной математики, оптики, небесной механики, теории электричества, гидродинамики. Им написаны «Курс математической физики» в 12 томах, фундаментальный труд «Новые методы небесной механики» и многие другие работы, всего около 500. Известны также его работы по методологии естественных наук, в частности о природе математического умозаключения, математической индукции, об интуиции и логике в математике, о науке и реальности, о научной гипотезе, объективной ценности науки, морали и науке. Одна из наиболее дискуссионных проблем, обсуждавшихся Пуанкаре, — конвенции (соглашения) и конвенциональность в науке. Высказанные Пуанкаре идеи о «свободном соглашении» или «замаскированном соглашении», лежащих в основе науки, демонстрируют плодотворность коммуникативного подхода к исследованию познавательной деятельности и природы знания. На русский язык переведены его главные методологические работы: «Наука и гипотеза», «Ценность науки», «Наука и метод», объединенные в сборнике «О науке» (М., 1983).