<...> Математический анализ можно в известном смысле назвать единой симфонией бесконечного. Громадные успехи, достигнутые в исчислении бесконечно малых, основываются большей частью на действиях с математическими системами, состоящими из бесконечного числа элементов. Так как очень легко напрашивалось отождествление бесконечного с «очень большим», то вскоре возникли несогласованности, так называемые парадоксы исчисления бесконечно малых, часть которых была уже в древности известна софистам. Основным шагом вперед явилось обнаружение того факта, что многие положения, справедливые для конечного, — часть меньше целого, существование минимума и максимума, перемена мест слагаемых или сомножителей — не могут быть непосредственно перенесены на бесконечное. В начале своего доклада я уже упоминал, что эти вопросы были выяснены благодаря проницательности Вейерштрасса, и теперь анализ в своей области стал безошибочным наставлением и практическим инструментом для пользования бесконечным.
Однако сам анализ еще не ведет нас к глубочайшему проникновению в сущность бесконечного. Такому проникновению гораздо больше способствует дисциплина, которая стоит ближе к общефилософским приемам мышления и которая была призвана опять, уже в новом свете, поставить весь комплекс вопросов, касающихся бесконечного. Этой дисциплиной является теория множеств, создателем которой был Георг Кантор. (С. 345-346)
Если хотят кратко характеризовать новое понимание бесконечного, которому положил начало Кантор, можно, пожалуй, сказать следующее: в анализе мы имеем дело с бесконечно малым и бесконечно большим только как с предельным понятием, как с чем-то становящимся, образующимся, производящимся, т.е., как говорят, с потенциальной бесконечностью. Но это не есть само собственно бесконечное. Таковое мы имеем, например, рассматривая самую совокупность чисел 1, 2, 3, 4, ... как некое законченное единство или точки отрезка как совокупность вещей, предстоящую перед нами в законченном виде. Этого рода бесконечность мы будем называть актуальной бесконечностью.
Уже Фреге и Дедекинд, сделавшие очень многое для обоснования математики, оба, независимо друг от друга, применили актуальную бесконечность для того, чтобы обосновать арифметику независимо от всякого наглядного представления и опыта, на чистой логике и развивать ее дедуктивным путем только посредством логики. Их стремление состояло в том, чтобы конечное число не брать из наглядного представления, а вывести чисто логически, существенно используя при этом понятие бесконечных множеств. Кантор же разработал понятие бесконечного систематически. <...> (С. 346)
<...> Итак, в конце концов, благодаря гигантской совместной работе Фреге, Дедекинда и Кантора, бесконечное было возведено на трон и наслаждалось временем своего высшего триумфа. Бесконечное в своем дерзком полете достигло головокружительной высоты успеха.
Но реакция не заставила себя ждать; она разыгралась очень драматически. Произошло нечто, аналогичное тому, что случилось при развитии исчисления бесконечно малых. На радостях по поводу новых богатых результатов стали явным образом недостаточно критически относиться к законности умозаключений; поэтому уже при простом образовании понятий и применении умозаключений, постепенно ставших обычными, выявились противоречия, сначала единичные, а затем все более резкие и все более серьезные: так называемые парадоксы теории множеств. <...> (С. 348-349)
<...> Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?
Но существует вполне удовлетворительный путь, по которому можно избежать парадоксов, не изменяя при этом нашей науке. Те точки зрения, которые служат для открытия этого пути, и те пожелания, которые указывают нам направление, суть следующие:
1. Мы будем заботливо следить за плодотворными способами образования понятий и методами умозаключений везде, где является хотя бы малейшая надежда, будем ухаживать за ними, поддерживать их, делать их годными к использованию. Никто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор.
2. Надо повсюду установить ту же надежность заключений, которая имеется в обыкновенной, низшей теории чисел, в которой никто не сомневается и где возникают противоречия и парадоксы только вследствие нашей невнимательности.
Достижение этой цели возможно, очевидно, лишь после того, как мы полностью выясним сущность бесконечности.
Уже Кант учил — и это составляет существенную часть его учения, — что математика обладает не зависящим от всякой логики устойчивым содержанием, и потому она никогда не может быть обоснована только с помощью логики, вследствие чего, между прочим, стремления Дедекинда и Фреге должны были потерпеть крушение. Наоборот, кое-что уже дано в нашем представлении в качестве предварительного условия для применения логических выводов и для выполнения логических операций: определенные, внелогические, конкретные объекты, которые имеются в созерцании до всякого мышления в качестве непосредственных переживаний. Для того чтобы логические выводы были надежны, эти объекты должны быть обозримы полностью во всех частях; их показания, их отличие, их следование, расположение одного из них наряду с другим дается непосредственно наглядно, одновременно с самими объектами, как нечто такое, что не может быть сведено к чему-либо другому и не нуждается в таком сведении. Эго — та основная философская установка, которую я считаю обязательной как для математики, так и вообще для всякого научного мышления, понимания и общения и без которой совершенно невозможна умственная деятельность. В частности, в математике предметом нашего рассмотрения являются конкретные знаки сами по себе, облик которых, согласно нашей установке, непосредственно ясен и может быть впоследствии узнаваем. (С. 349-351)
В заключение мы хотим из всех наших рассуждений сделать некоторое резюме о бесконечном. Общий вывод таков: бесконечное нигде не реализуется. Его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления, — здесь мы имеем замечательную гармонию между бытием и мышлением. В противоположность стремлениям Фреге и Дедекинда, мы пришли к убеждению, что в качестве предварительного условия для возможности научного познания необходимы некоторые геометрически-наглядные представления и рассмотрения и что одна только логика недостаточна. Оперирование с бесконечным может стать надежным только через конечное.
Роль, которая остается бесконечному, это только роль идеи, — если, согласно Канту, под идеей подразумевать понятие, образованное разумом, которое выходит за пределы всякого опыта и посредством которого конкретное дополняется в смысле цельности, — более того, идеи, которой мы можем вполне доверять в рамках, поставленных теорией, намеченной и защищаемой мною здесь. (С. 364)
Каково же теперь истинное положение вещей в отношении упрека о вырождении математики в игру? Источником чистых теорем существования является логическая ε-акси-ома, на которой, в свою очередь, основано построение всех идеальных высказываний. А каков результат ставшей тем самым возможной игры формул? Эта игра формул допускает, что все содержание идей математической науки можно единообразно выразить и развить таким образом, чтобы вместе с тем соотношения и отдельные теоремы были понятны. Выставить общее требование, согласно которому отдельные формулы сами по себе должны быть изъяснимы — отнюдь не разумно; напротив, сущности теории соответствует, что при ее развитии нет необходимости, между прочим, возвращаться к наглядности или значимости. Физик как раз требует от теории, чтобы частные теоремы были выведены из законов природы или гипотез с помощью одних только умозаключений, не вводя при этом дальнейших условий, т.е. на основании чистой игры формул. Только известная часть комбинаций и следствий из физических законов может быть контролируема опытом, — подобно тому как в моей теории доказательства только реальные высказывания могут быть непосредственно проверяемы. Ценность чистого доказательства существования в том именно и состоит, что благодаря ему исключаются отдельные построения и многие разнообразные построения объединяются одной основной идеей, вследствие чего четко выступает только то, что существенно для доказательства: смысл доказательства существования состоит в сокращении и экономии мысли. Чистые теоремы о существовании служили в действительности важнейшими вехами исторического развития нашей науки. Но подобные соображения не влияют на верующих интуиционистов.
