26

X

34

Чтобы умножить 26 на 34, брали 4 отд?льныхъ произведенія: 20?4, 6?30, 6?4, 20?30, изъ нихъ два вертикально и два крестъ на крестъ. Этотъ способъ иначе называется хіазмомъ, потому что косой крестъ походитъ на греческую букву ? (хи), и самый знакъ умноженія назывался иногда «хи». Зам?чательно, что онъ же продолжительное время служилъ и знакомъ д?ленія дробей, такъ какъ въ этомъ случа? тоже приходится выполнять д?йствіе крестъ накрестъ: числителя одной дроби помножать на знаменателя другой. Христіанъ Вольфъ въ XVIII ст. предложилъ обозначать умноженіе точкой. Наши знаки плюсъ и минусъ въ ихъ нормальной форм? встр?чаются въ первый разъ около 1489 г. въ ари?метик? лейпцигскаго профессора Видмана. Съ 1600 г. уже во вс?хъ четырехъ д?йствіяхъ можно вид?ть настоящіе знаки.

Теперь поведемъ р?чь объ опред?леніяхъ д?йствій. Что показываетъ опред?леніе? Оно указываетъ смыслъ д?йствія и его сущность. Такъ, напр., опред?леніемъ умноженія ц?лыхъ чиселъ служитъ сл?дующее: «умноженіемъ называется такое ари?метическое д?йствіе, въ которомъ составляется сумма столькихъ слагаемыхъ, равныхъ первому даному числу, сколько единицъ заключается во второмъ данномъ числ?». Надо сказать, что опред?ленія въ первоначальной арабской ари?метик? были короткими и понятными и употреблялись только тогда, когда въ нихъ д?йствительно являлась надобность, т.-е. когда д?йствіе безъ опред?ленія представлялось неяснымъ и см?шивалось съ другимъ. Но, въ противоположность этому, среднев?ковая школьная ученость (такъ назыв. схоластика) начала придавать словеснымъ опред?леніямъ слишкомъ большое значеніе, начала требовать опред?леній даже и въ т?хъ случаяхъ, когда и безъ нихъ понятія ясны, просты и не см?шиваются. Къ этому еще присоединилось увлеченіе мнимо-научнымъ языкомъ, когда стремились нарочно выражатьея туманно, тяжелов?сно, нагромождая фразу на фразу, и все это съ ц?лымъ рядомъ придаточныхъ предложеній, въ груд? которыхъ нер?дко было трудно дойти до истиннаго смысла. Излишнія и тяжело выраженныя опред?левія не мало мучили учащихся; среднев?ковая варварская латынь и хитроумная риторика ложились тяжелымъ бременемъ на умственныя силы учениковъ и мало сод?йствовали уясненію основныхъ математическихъ понятій. И въ наши дни зам?тно еще н?которое вліяніе среднев?ковой схоластики, особенно въ н?мецкой школ?. Недаромъ знаменитый русскій педагогъ Ушинскій говоритъ:

Приведемъ н?сколько прим?ровъ, которые доказываютъ, какъ иногда трудны и безполезны бываютъ опред?ленія. Въ русской ари?метик? Румовскаго (1760 г.) относительно д?ленія сказано такъ:

Какъ это мудрено и непонятно, хотя съ научной точки зр?нія и правильно! Можно думать, что авторъ нарочно, съ ц?лью такъ затемнилъ смыслъ яснаго д?йствія д?ленія; в?дь пятил?тніе ребята, если имъ дать яблоко и вел?ть разд?лить поровну, напр., пополамъ, поймутъ, чего отъ нихъ хотятъ, и съ удовольствіемъ р?шатъ задачу, но авторъ этой ари?метики, должно-быть, думаетъ, что трудный слогъ сод?йствуетъ научности; напрасно: научность состоитъ въ глубокихъ мысляхъ, а не въ туманныхъ фразахъ. Вотъ еще опред?ленія Грамматеуса (XVI в.):

Зд?сь только одна зам?на словъ и н?тъ никакой помощи для смысла.

Это д?йствіе безспорно и безъ всякаго сомн?нія занимаетъ первенствующее м?сто въ ряду четырехъ д?йствій, потому что безъ сложенія не обойтись нигд?. «Что есть аддиціо или сложеніе?» спрашиваетъ славянскій учебникъ ари?метики и отв?чаетъ: «Аддиціо, или сложеніе, есть дву или многихъ числъ во едино собраніе, или во единъ перечень совокупленіе». И продолжаетъ сейчасъ же за этимъ: «Удобн?йшаго же ради, и скораго сложенія, подобаетъ прежде предложенную таблицу им?ти въ разум? твердо, да всякихъ числъ сложеніе творити имаши скоро и изв?стно, безъ всякаго забвеніа и лжи». Табличку надо было выучить непрем?нно наизусть и помнить ее твердо, твердо, иначе все ари?метическое зданіе могло бы рушиться, потому что въ старинныя времена оно гораздо больше основывалось на чистомъ запоминаніи, ч?мъ на сужденіи и вывод?. Учителя кр?пко уб?ждаютъ помнить табличку, и вотъ даже стихи въ одной изъ ари?метикъ:

Въ нашихъ нын?шнихъ учебникахъ ари?метики таблица сложенія начинается съ 1+1 и кончается 9+9. Но прежде было иначе. Напр., въ ари?метик? Леонардо Фибонначи (1200 г.), первомъ европейскомъ учебник?, составленномъ по арабскому образцу, рекомендуется заучить не только таблицу единицъ, но и ц?лую таблицу десятковъ отъ 10+10 до 90+90. Зд?сь, конечно, видна непосл?довательность: если учить десятки, то отчего же не учить сотни, тысячи и вс? остальные разряды. Въ противоположность такой большой таблиц?, русскіе учебники XVII в. даютъ таблицу маленькую, которая кончается всего на всего суммой 11, а до 18-ти не доходитъ Заглавіе этой таблицы такое: «Граница изустная счетная къ разуму хотящему разум?ти благая и полезная». Подобныхъ высокопарныхъ выраженій ц?лая тьма въ старинныхъ ари?метическихъ пособіяхъ.

Сложеніе большихъ чиселъ, особенно же многозначныхъ чиселъ издавна производилось гораздо чаще на счетныхъ приборахъ, ч?мъ письменно. Разныя наглядныя пособія для счета и придумывались, главнымъ образомъ, для того, чтобы помочь сложенію. У китайцевъ— сванъ-панъ, у грековъ и римлянъ—абакъ, у насъ, русскихъ, торговые счеты, да, кром? того, еще н?сколько видоизм?неній этихъ приборовъ—все это служило ц?лямъ отысканія суммы. И надо сказать, что привычка складывать на приборахъ очень укоренилась въ простомъ народ? во вс?хъ почти странахъ и при томъ настолько сильно, что, наприм?ръ, римскій абакъ употреблялся для сложенія въ Западной Европ? стол?тія 3–4 спустя посл? введенія индусской системы.

Способомъ, переходнымъ отъ абака къ нашему настоящему, является такой. Положимъ, даны намъ два числа: 666 и 144; подписавши 144 подъ 666 и опред?ливъ сумму единицъ 10, мы стираемъ 6 у верхняго слагаемаго и пишемъ вм?сто него 0, а такъ какъ сумма единицъ дала десятокъ, то и цифру десятковъ 6 стираемъ и пишемъ 7, теперь слагаемыя изм?нились: 670 и 144; десятковъ въ сумм? получитея 11, сл?довательно стираемъ 7 и зам?няемъ черезъ 1 и также вм?сто 6-ти сотенъ пишемъ 7; теперь намъ остается тодь-ко сложить 7 сотенъ съ 1, будетъ 8; эта цифра пишется вм?сто 7 сотенъ, и весь отв?тъ получается на м?ст? перваго слагаемаго въ вид? 810. Пять разъ намъ приходилось стирать, прежде ч?мъ добраться до в?рнаго отв?та. Несомн?нно, такимъ путемъ трудно д?йствовать на бумаг?, но онъ былъ ум?стенъ на абак?, покрытомъ пескомъ; еще можно попытаться на грифельной доск?, но эти по-стояннныя стиранія надо?даютъ; почему же они прим?нялись и на бумаг?? в?дь отъ нихъ н?тъ никакой выгоды и одно только неудобство? А потому, что прежняя метода обученія стремилась обратить челов?ка въ машину, не полагалась на его личную сообразительность и предписывала все отм?чать на абак?, но никакъ не удерживать въ ум?. Мы теперь запоминаемъ десятки или сотни, получившіяся отъ единицъ или десятковъ, а тогда вс? мелочи необходимо было писать, чтобы не утерять.