Въ настоящее время принято во вс?хъ учебникахъ, чтобы д?йствія надъ дробями шли въ такомъ порядк?: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и д?леніе. Прежде было иначе: старинные авторы предпочитали начинать съ умножевія и д?ленія, и потомъ уже они переходили къ сложенію и вычитанію; при этомъ они руководствовались т?мъ, что для умноженія и д?ленія не надо приводить къ общему знаменателю и, сл?д., эти два д?йствія гораздо легче т?хъ двухъ.

Мы будемъ держаться общепринятаго порядка и поэтому скажемъ сперва н?сколько словъ о сложеніи. Изъ его особенностей отм?тимъ только ту, которая касается сложенія н?сколькихъ дробей. Для этого, обыкновенно, складывали сперва только дв? дроби, сумму ихъ сокращали, если только она сокращается; потомъ къ ней прикладывали третью дробь и сумму опять сокращали, если только можно, и т. д. Если сложеніе до посл?дней дроби. Въ XVI ст. по Р. X. ум?ли, впрочемъ, складывать н?сколько дробей сразу, но тогда ужъ принимали за общаго знаменателя произведеніе вс?хъ знаменателей. Для облегченія сложенія придумывались особенныя таблицы, въ которыхъ были пом?щены суммы наибол?е употребительныхъ долей. Напр.: итальянецъ Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. Хр.) даетъ въ своемъ учебник? таблицу сложенія дробей, у которыхъ знаменателемъ служатъ числа: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.

Вычитаніе. Древніе египтяне зам?няли вычитаніе дробей сложеніемъ. Вм?сто того, чтобы привести дроби къ одному знаменателю и потомъ вычесть числителей, какъ это везд? д?лается, они задавались вопросомъ: какое число надо прибавить къ меньшему данному числу, чтобы получить большее данное? Напр., сколько недостаетъ до единицы у

(египтяне, обыкновенно, пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителями, равными единиц?); они р?шали этотъ вопросъ сл?дующимъ образомъ: общій знаменатель 45, складываемъ 11?, 5?, ?, 4?, 1?, 1, будетъ всего 23 ???; до ? не хватаетъ

; всего до 1 не хватаетъ ? ¹/₉ ¹/₄₀ —это есть отв?тъ. Читатель, нав?рное, понялъ, что зд?сь между дробями пропущены знаки сложенія: египтяне ихъ и не ставили и полагали, что достаточно написать дроби рядомъ, чтобы принять ихъ за слагаемыя.

Умноженіе. Умножить какое-нибудь количество на правильную дробь значитъ найти такую долю этого количества, какая выражается множителемъ. Это такъ ясно и понятно. Т?мъ не мен?е нахожденіе частей числа почему-то отд?лялось и отд?ляется отъ умноженія и принимается за какое-то особенное вычисленіе, которое должно яко бы предшествовать 4 ари?м. д?йствіямъ. Почему все это такъ, и гд? кроется корень недоразум?нія, — объяснить трудно, такъ какъ исторія ари?метики не даетъ надежнаго ключа къ разгадк?. Но любопытно сопоставить это д?ло съ другимъ недоразум?ніемъ, которое н?сколько в?ковъ тому назадъ особенно авторитетно выставлялось на первый планъ, считаясь ч?мъ то непреложнымъ, а въ настоящее время оно оставлено и забыто. Касается оно сл?дующаго. Въ вычисленіяхъ съ дробными числами, кром? чиселъ ц?лыхъ и дробей, встр?чались еще такъ наз. доли отъ долей; это были длинныя формулы, состоящія изъ огромнаго ряда дробей, которыя не подлежали упрощенію и въ сыромъ вид? входили въ д?йствіе. Лучше всего пояснить это на прим?р?: сложить ? отъ ⁴/₅ отъ ⁵/₆ съ ? отъ ⁹/₁₀, или еще: изъ 10 вычесть 3? отъ 2? отъ ⁴/₅. Ясно, что зд?сь невычисленныя формулы, и что прежде ч?мъ складывать или вычитать, надо привести слагаемыя или же уменьшаемое съ вычитаемымъ въ обработанный видъ. Получится ? отъ ⁴/₅ ⁵/₆= ⁴⁰/₉₀ = ⁴/₉;

⁵/₆ отъ ? отъ ⁹/₁₀ =

, теперь эти дроби возможно сложить, и въ сумм? будетъ

Такъ же и во второмъ прим?р? приведемъ сперва вычитаемое къ должному виду и тогда уже произведемъ д?йствіе; 3??2??

= 7?, 10 - 7? = 2?. Совершенно нельзя понять, къ чему требовалось математикамъ затруднять сложеніе и вычитаніе дробей особенными правилами, какъ обращаться съ долями долей, а между т?мъ эти правила разсматривались на н?сколькихъ страницахъ, занимавшихъ много параграфовъ, требовали большого количества упражненій и приносили только вредъ, такъ какъ на нихъ безъ пользы уходило много времени и труда. Теперь уже наши д?ти не изучаютъ отд?льныхъ правилъ, какъ складывать или вычитать доли долей, и въ этомъ отношеніи имъ легко. Будемъ же над?яться, что подобно этому отд?лу исчезнетъ въ учебникахъ и другой лишній отд?лъ — нахожденіе частей ц?лаго, и присоединится туда, гд? ему настоящее м?сто, т. е. къ умноженю дробей.

Зам?тимъ, что вычисленія съ долями долей очень древняго происхожденія, они ведутъ свое начало отъ греческаго математика Герона (во II ст. до Р. X.). Были выработаны спеціальные пріемы, какъ обозначать часть дробнаго числа. Напр., у арабовъ прим?нялось такое обозначеше:

,которое должно показывать ⁴/₅ отъ ³/₇ отъ ?, т.-е. окончательно ³/₁₄. У Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. X.) формула

равна, согласна нашему порядку,

всего 22²⁴/₃₅, а формула

равна

Вотъ какая путаница вносилась этимъ отд?ломъ совершенно безъ всякой нужды. Также и въ русскихъ матем. сборникахъ XVII—XVIII в. этотъ отд?лъ давалъ не мало сбивчивости. Онъ назывался «выниманіе дробовое» или «вычитаніе доли изъ долей». Его нельзя было см?шивать съ другимъ д?йствіемъ, которому придано созвучное заглавіе, т.-е. съ «вычитаніемъ въ доляхъ», гд? разсматривается наше вычитаніе дробныхъ чиселъ. Составителю учебника приходилось не мало разъяснять, что-бы предостеречь ученика отъ см?шиванiя вычитанія и нахожденія части, такъ что предъ вычитаніемъ пом?щено было отд?льное разъясненіе «о разум?ніи, что есть доли изъ долей».

Обратимся теперь къ чистому умноженію дробей, какъ отд?льному д?йствію. Обособляться оно стало только въ средніе в?ка, и тогда ему придано было названіе «умноженіе», древняя же математика ограничивалась только нахожденіемъ прост?йшихъ частей числа, т?мъ бол?е, что даже и въ ц?лыхъ числахъ она стремилась привести умноженіе къ сложенію. У Бернелинуса, ученика римскаго папы Сильвестра II (въ XI в.), умноженіе ¹/₃₆ на ? совершается по римскимъ образцамъ сл?дующимъ образомъ: ¹/₃₆ обращается въ доли фунта; въ фунт? 12 унцій, сл?д., унція равна ¹/₁₂, а такъ какъ въ унціи 24 скрупула, то дробь ¹/₃₆ обратилась въ 8 скрупуловъ; ? равна ? фунта, т.-е. 4 унціямъ; множимъ теперь ? фунта на ? унціи, т -е. на 8 скрупуловъ, и получается ¹/₉ унціи, иначе сказать 2? скрупула, а такъ какъ 2 скрупула составляютъ особою м?ру, которая называется «emisescla», то окончательный отв?тъ представится въ вид? 1? «emisescla». Да, можно сказать, что способъ Бернелинуса очень и очень нелегокъ.

У Фибонначи (XIII ст. по Р. X.) подъ вліяніемъ арабскихъ и индусскихъ образцовъ н?тъ вычисленія съ унціями, и д?ло идетъ просто съ отвлеченными долями. Фибонначи пользуется такимъ способомъ. Сперва онъ перемножаетъ числителей, а потомъ получившееся число д?литъ на перваго знаменателя и, зат?мъ, уже это частное д?литъ на второго знаменателя.