Пропорціональное д?леніе съ давнихъ временъ прилагалось тогда, когда требовалось разд?лить зав?щанный капиталъ между насл?дниками. Поэтому въ сборникахъ, обыкновенно, пом?щалось н?сколько задачъ этого рода. Вотъ задача изъ сборника Магницкаго: «Н?кій челов?къ имяше жену и три сына и дщерь едину; той челов?къ при смерти своей написа въ зав?т? своемъ посл?ди себе разд?лити пожитки, жен? осмую часть всего им?нія, сыномъ же всякому ихъ вдвое при дщери своей, изъ т?хъ ⁷/₈ всего им?нія, по смерти же его обр?теся им?нія на 48000 рублевъ, и в?дательно есть, колико кому досталось изъ того его всего им?нія; придетъ: жен? 6000 рублевъ, д?тямъ мужеску полу 12000 рублевъ, а дщери 6000 рублевъ:

Въ прежнее время авторы учебниковъ давали очень замысловатые вопросы касательно зав?щаній. Напр., они разсчитывали доли такъ, что сумма ихъ не составляла единицы, и тутъ приходилось много мудрить, прежде ч?мъ придти къ сносному р?шенію. Д?йствительно, если осталось три насл?дника, и первому отказано ? им?нія, второму ? и посл?днему ?, то какъ же тутъ поступить, в?дь эти доли образуютъ вм?ст? больше, ч?мъ ц?лое насл?дство, именно ¹³/₁₂ насл?дства; въ такихъ случаяхъ брали, обыкновенно, отношеніе частей и по нимъ д?лили; въ нашемъ прим?р? ? : ? : ? = 6 : 4 : 3, сл?довательно, старшему сыну надо дать ⁶/₁₃, второму ⁴/₁₃ и третьему ³/₁₃ всего насл?дства.

Любопытную задачу въ этомъ род? далъ знаменитый римскій юристъ Сальвіанъ Юліанъ, жившій при императорахъ Адріан? и Антонин? Пі? (во II в. по Р. X.)

Сальвіанъ предложилъ сыну дать 4 части, жен? 2 и дочери 1. Задача считалась очень интересной и даже вошла въ пандекты, византійскій сборникъ законовъ. Между прочимъ, Алькуинъ, придворный математикъ Карла Великаго (въ VIII в. по Р. X.), думалъ надъ этой же задачей, но она изложена у него съ другими числами. По Алькуину, сыну зав?щано ? и вдов? ?, дочери ⁷/₁₂ и вдов? ⁵/₁₂. Къ задач? приложено переписчикомъ р?шеніе, съ которымъ согласиться нелегко: чтобы удовлетворить сына и мать, надо 12 долей, а еще дочь и мать 24 доли; по 1-му условію сынъ получаетъ 9 долей, мать 3, по второму — мать 5 и дочь 7, всего приходится матери

сыну —

= ?, дочери

Вс? задачи на зав?щанія р?шались тройнымъ правиломъ и относились къ той групп?, которая въ старинныхъ русскихъ ари?метикахъ озаглавливалась: «статья д?ловая въ тройномъ правил?», т.-е. статья, гд? производитея д?лежъ, то былъ д?лежъ заработка, награды и т. п. За ней шла «торговая м?новая въ тройномъ правил?», т.-е. статья объ обм?н?, которая также приводилась къ тройному правилу. Потомъ «статья торговая складная и д?лительная», гд? прибыль д?лилась соотв?тственно вложенному капиталу. Зат?мъ «статья торговая складная съ прикащики и съ людьми ихъ», въ ней нужно было выд?лить кром? прибыли еще жалованіе прикащикамъ. И, наконецъ, шла «торговая складная со времены»: зд?сь принимался во вниманіе не только капиталъ, вложенный каждымъ компаньономъ въ предпріятіе, но и время оборота.

Задачи на пропорціональное д?леніе р?шались, обыкновенно, тройнымъ правиломъ, при этомъ не оставалось м?ста ни сокращеніямъ, ни упрощеніямъ и не давалось простора личной сообразительности ученика. Обыкновенно, сперва пом?щалось условіе вопроса, потомъ тутъ же р?шеніе, ученикъ все это заучивалъ и впосл?дствіи старался это прилагать, когда встр?чалъ вопросъ, похожій на заученный.

Взиманіе процентовъ практиковалось еще въ древнія времена, но въ различныхъ государствахъ къ нему относились различно и вообще это д?ло было совершенно не урегулировано.

У римлянъ допускались только простые проценты, онн высчитывались по одному въ м?сяцъ и выплачивались по истеченіи каждаго м?сяца. Брать сложные проценты было у нихъ запрещено закономъ. Также и въ средніе в?ка во многихъ государствахъ сложные проценты запрещались закономъ, и т?, кто ихъ бралъ, считались ростовщиками и пользовались презр?ніемъ. Это были, обыкновенно, евреи. Законодатель исходилъ изъ того положенія, что если челов?къ затрудняется простыми процентами и не можетъ вносить ихъ аккуратно въ срокъ, то безжалостно было-бы начислять на него сложные проценты. Въ ари?метическихъ сборникахъ такія задачи попадались р?дко, и въ условіяхъ ихъ говорилось, обыкновенно, про евреевъ. Въ русскомъ обществ? до 18 ст. начисленіе процентовъ, очевидно, тоже не пользовалось расположеніемъ, по крайней м?р?, у Магницкаго (1703 г.) очень мало задачъ на вычисленіе роста, и самое слово «процентъ» у него не употребляется.

Въ ХV—XVI стол., когда въ Западной Европ? зам?чается особенный подъемъ торговли, всякія коммерческія вычисленія стали пользоваться вниманіемъ и среди нихъ вычисленіе сложныхъ процентовъ, но математикамъ того времени стоило большого труда р?шать эти вопросы: не было десятичныхъ дробей и логари?мовъ, да кром? того, м?ры стоимости были во всякомъ государств? свои, и переводить ихъ изъ одной системы въ другую считалось нелегкой операціей. Итальянскій математикъ Тарталья даетъ 4 способа вычисленія сложныхъ процентовъ: 1) опред?ляетъ наращенный капиталъ въ конц? перваго года, зат?мъ въ конц? второго и т. д., отв?тъ находится при помощи тройного правила. 2) Пользуясь изв?стной алгебраической формулой aqⁿ, но ея буквально не приводитъ. 3) Приростъ капитала выражаютъ его долей

(алгебраически

) и находятъ эту долю сперва отъ начальнаго капитала, потомъ отъ перваго наращеннаго, зат?мъ отъ второго наращеннаго и т. д.; эту долю прибавляютъ, когда нужно, къ первому капиталу, ко второму и т. д. 4) Берется произвольная сумма, обыкновенно сто рублей, и для нея находится отв?тъ, т. е. капиталъ вм?ст? съ процентными деньгами, потомъ конечный отв?тъ помножаютъ на то число, которое показываетъ, сколько сотенъ въ данномъ первоначальномъ капитал?. На этомъ способ? основано и нын?шнее пользованіе таблицами сложныхъ процентовъ.

Чтобы изб?жать трудныхъ дробей, н?мецкій математикъ Рудольфъ (ХVІ в.) еще до введенія десятичныхъ дробей пользовался десятичными дробями. Его прим?ръ такой: во что обратится сумма 375 флориновъ черезъ 10 л?тъ по 5%? Р?шеніе:

Въ связи съ процентами стоитъ учетъ векселей. Правило учета было изв?стно еще римлянамъ. Такъ, напр., римскій математикъ Секстъ Юлій Африканъ, писавшій свои сочиненія по ари?метик? и геометріи при император? Александр? Север? (222—235 г.), разсматривалъ такъ наз. interesurium, т. е. ученіе о интересахъ или процентахъ, по нашему — коммерческій учетъ векселей. Отъ римлянъ онъ перешелъ къ народамъ Западной Европы, а тамъ мы его видимъ въ XIII в?к? у итальянцевъ, которые первые надумали устраивать коммерческіе банки (первые итальянскіе банки относятся къ 1200 г. по Р. X.). Самый старинный вексель, дошедшій до насъ. пом?ченъ 1325 годомъ и писанъ въ Милан?, получить по нему въ Лукк?. Въ XIII и XIV ст. въ Германіи встр?чались векселя совершенно примитивной формы, но зато исключавшіе возможность всякой подд?лки: бралась бирка, длинная палочка, и на ней графили такія зарубки, которыя могли-бы точно выражать вексельную сумму; зат?мъ эта бирка кололась по длин? на 2 палочки, и одна изъ нихъ вручалась должнику, другая—заимодавцу; подд?лать такой вексель было невозможно, потому что иначе палочки другъ къ другу не подойдутъ. На учетъ векселей смотр?ли въ древніе в?ка очень косо, и дурная слава утвердилась за нимъ потому, что маклера не брезговали большими процентами; довольно обыкновеннымъ разм?ромъ было 33%, а если какой маклеръ учитывалъ изъ 20%, то онъ считалсл милостивымъ.