4) Апіанъ въ XVI ст. даетъ такое же расположеніе, какое дали бы и мы, но только онъ подписываетъ числа не разрядъ подъ разрядомъ, а просто крайнюю цифру подъ крайней. Разд?лить 97535376 на 9876, получится 9876. Пишется д?лимое, подъ нимъ д?литель, а частное сбоку.     a b c

9 7 5 3 5 3 7 6   ( 9 8 7 6

9 8 7 6

8 8 8 8 4

8 6 5 1 3 a

7 9 0 0 8

7 5 0 5 7 b

6 9 1 3 2

5 9 2 5 6 c

5 9 2 5 6

5) Тарталья, изобр?тательный итальянскій математикъ XVI в., не только учившій по старин?, но и отъ себя предлагавшій много оригинальныхъ и удобныхъ пріемовъ, для большей ясности расчленяетъ д?йствіе на рядъ отд?льныхъ вычисленій, смотря по тому, сколько цифръ въ частномъ.

Вотъ, какъ онъ выполняетъ д?леніе 2596860019 на 38784.

Частное 67019, остатокъ 7807. При этомъ Тарталья говоритъ, что хорошо бы передъ д?леніемъ заготовлять произведенія д?лителя на вс? однозначныя числа; тогда видн?е было бъ, какою цифрою задаваться въ частномъ, да и не нужно составлять отд?льно произведеній д?лителя на цифры частнаго, такъ-какъ они ужъ есть, и останется прямо вычитать.

6) Клавіусъ въ XVII ст. вводитъ нашъ знакъ д?ленія (при помощи угла), но числа при д?леніи располагаетъ не по нашему. Прим?ръ: 1902942 : 2978=639.

7) Вендлеръ, н?мецкій педагогъ XVII в., употребляетъ почти нашъ пріемъ, съ тою только разницей, что д?литель и частное у него ставятся по об?имъ сторонамъ д?лимаго.

Кром? того, цифры д?лимаго не сносятся, а остаются на своемъ прежнемъ м?ст? вверху.

8) Пешекъ въ XVIII ст. вычисляетъ такъ же, какъ и Вендлеръ. Пешекъ даетъ нашему способу названіе французскаго.

9) Баргь въ XVIII ст. пишетъ д?лителя подъ д?лимымъ при всякомъ частномъ д?леніи, сл?д. столько разъ, сколько разрядовъ въ частномъ. 66734 : 325= 205 ¹⁰⁹/₃₂₅

10) Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII стол?тія встр?чаются, какъ и сл?довало ожидать, т? же самые пріемы, какіе выработала Западная Европа. Они перешли къ намъ черезъ Польшу, такъ какъ именно польская ученость давала пищу русской образованности XVII в?ка. Чаще всего въ это время встр?чается способъ Апіана (см. выше, 4). У Магницкаго, стр. К а оборот? представлено д?леніе въ такомъ вид?.

Зд?сь д?лимое 5175 пом?щено во второй строк?, частное справа, д?литель 15 переписывается трижды (въ третьей и пятой строкахъ), четвертая и пятая строка отведены частнымъ произведеніямъ, а верхняя—остатку отъ вычитанія. Изъ этого видно, что цифры расположены довольно несистематично и неудобно, такъ что сбиться въ нихъ очень легко. Но, по правилу, «изъ двухъ золъ выбирай менынее», Магницкій очень доволенъ этимъ способомъ и одобряетъ его въ сл?дующихъ выраженіяхъ: «Мнози убо д?лятъ перечни сицевымъ образомъ: егда д?лителемъ емлютъ, изъ числъ д?лимаго, и написавши за чертою, умножаютъ имъ весь д?литель и, подписавши вычитаніемъ, вычитаютъ изъ д?лимаго. И намъ видится, сицевымъ образомъ есть удобн?йше, но т?мъ иже слаб?йшеее разум?ніе и тщаніе имутъ: зане не толикаго есть домышленія, и остроты». Дал?е у Магницкаго идетъ способъ, цохожій на Барта (см. выше, 9), и способъ Вендлера (выше, 7). Вліяніе Вендлера вполн? зам?тно въ ари?метик? Василія Адодурова (1740 г), Румовскаго (1760 г.), Кузнецова (1760 г.). У Загорскаго (1806 г.) является нашъ нормальный способъ во всей чистот?.

Подъ именемъ австрійскаго способа разум?ется такой, который хотя и похожъ на нашъ нормальный, но отличается отъ него большімъ прим?неніемъ устнаго счета. Австрійскій способъ можно считать шагомъ впередъ сравнительно съ нашимъ способом, въ немъ меньше шісьма и самое д?йствіе совершается всл?дствіе этого гораздо быстр?е, правда, есть въ немъ и неудобство: именно, челов?къ, мало-мальски невнимательный, легко въ немъ сд?лаетъ ошибку и собьется. Для прим?ра возьмемъ 167585 : 365. Первая цифра частнаго будетъ 4; составляемъ произведеніе 365 на 4, начиная съ низшихъ разрядовъ, но не подписываемъ этого произведенія подъ д?лимымъ, а вычитаемъ каждый разрядъ его, какъ только онъ получится, и пишемъ прямо остатокъ: 4?5=20, сл?д. въ остатк? 5; 4?6=24, да 2, 26, 6 изъ 7=1, сл?д. въ остатк? 1; дал?е 3?4=12 да 2—14, 14 изъ 16 даетъ въ остатк? 2; всего получится посл? вычитанія 215; сносимъ сл?дующую цифру 3 и д?лимъ новое число 2153 такъ же, какъ и предыдущее, т.-е. одновременно производимъ умноженіе и вычитаніе.

Австрійская метода стала выдвигаться на первый планъ сравнительно недавно, съ средины XIX в?ка, но зачатки ея простираются вплоть до XVII в?ка; еще Вендлеръ даетъ образецъ такого сокращеннаго д?ленія.

Кегель въ XVII ст. даетъ бол?е грубую форму этого способа, такъ какъ онъ начинаетъ умноженіе съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ и ему приходится лишній разъ изм?нять цифры. Вотъ какъ у него идетъ д?леніе 135513 на 21:

Наконецъ, Маурахеръ (XVIII в.) пользуется такимъ расположеніемъ вычисленія:

При этомъ частное 12345 пом?щается внизу, д?литель 8 сл?ва, а д?лимое 98760 прав?е д?лителя.

Это самая употребительная, самая распространенная форма д?ленія. Теперь ея уже н?тъ въ учебникахъ и объ ней не вспоминаютъ, но почти въ теченіе тысячи л?тъ, съ IX в?ка до XIX, она являлась общеизв?стной и популярной формой. Начало ей положили арабы; черезъ Испанію она была принесена въ Западную Европу и потому получила названіе «испанскаго» способа. Участь его можно сравнить съ той, которую пришлось испытать обученію грамот? по методу: «буки азъ ба». Теперь этотъ методъ отжилъ свой в?къ и скоро о немъ, нав?рное, забудутъ, а въ свое время онъ пользовался общепризнаннымъ авторитетомъ и на немъ воспитывался длинный рядъ покол?ній: наши отцы, д?ды и прад?ды, и д?ды нашихъ прад?довъ. Тоже случилось съ испанскимъ д?леніемъ. Сколько надъ нимъ старались, сколько хлопотали надъ его усовершенствованіемъ, а сейчасъ его забыли. Правду сказать, горевать объ этомъ не приходится, потому что—то было д?леніе длинное, сбивчивое и обильное всякими недоразум?ніями. Надо думать, что корень его скрывается въ индусской математик?, судя по тому, что вычислять подобнымъ образомъ очень удобно было на песк?, какъ то было принято у индусовъ. Когда же этотъ способъ сталъ прим?няться на бумаг?, то получилось н?что несообразное по основной иде?: цифры, которыя сл?довало стирать, оставались нетронутыми (иногда зачеркивались), нагромождались другъ на друга и давали массу лишняго и безполезнаго письма. Приведемъ прим?ры.

1) Прим?ръ Альхваризми, араба IX стол?тія. Требуется 46468 разд?лить на 324, частное 143.

Какъ видно, д?лимое въ средин?; подъ нимъ пом?щается д?литель и при томъ переписывается столько разъ, сколько цифръ въ частномъ; такое передвиженіе осталось, конечно, отъ вычисленій на песк?, когда такъ легко было стирать цифры и писать ихъ еще разъ въ бол?е удобномъ положеніи; первая цифра частнаго будетъ 1, первый остатокъ 140 пишется надъ частнымъ; теперь надо д?лить 1406 на 324, въ частномъ будетъ 4; умноженіе 324 на 4 идетъ съ высшихъ разрядовъ и одновременно же происходитъ вычитаніе. Вотъ гд?, между прочимъ, основаніе для австрійскаго способа, разобраннаго нами выше. Такъ какъ 3?4=12, то вычитаемъ 12 изъ 14-ти и иолучаемъ 2, которое и пишемъ надъ 4-мя; дал?е 2?4=8, 8 изъ 10=2, сл?д. надъ нулемъ надо пом?стить 2, а прежнюю цифру десятковъ 2 надо зам?нить новой 1, написавши эту 1 надъ двумя. Такъ д?йствіе идетъ до самаго конца, т.-е. умноженіе производится съ высшихъ разрядовъ и сопровождается вычитаніемъ, при чемъ изм?ненныя цифры переписываются выше.