Многое множество т?хъ задачъ, которыми наполняются современные намъ сборники, идутъ изъ глубокой древности, пережили многія тясячел?тія и терп?ливо переписываются однимъ составителемъ изъ другого.

Напр., изв?стная задача о бассейнахъ, которые наполняются трубами, и изъ которыхъ вода выливается, пользовалась вниманіем уже во времена Герона Александрійскаго (во 2 в. до Р. X.). Метрдоръ, жившій при Константин? Великомъ, даетъ задачу съ 4 трубами изъ которыхъ 1-я можетъ наполнить бассейнъ въ день, 2-я—въ 5 3-я—въ 3 и 4-я—въ 4 дня. Эту же задачу мы видимъ и у индусовъ во времена математика Аріабгатты, въ 5 в. по Р. X. Она же встр?чается въ русскихъ старинныхъ ари?метикахъ, и она же пом?щается во вс?хъ нов?йшихъ сборникахъ. Точно также задача о собак? догоняющей зайца, им?ется уже въ сборник? Алькуина (въ 8 ст. по Р. X.). Заяцъ впереди собаки на 150 футовъ, и онъ проб?гает 7 футовъ въ то время, какъ собака 9; для р?шенія 150 предлагается разд?лить пополамъ.

Р?шеніе ари?метическихъ задачъ всегда было несвободно от разныхъ недочетовъ, которые им?ютъ м?сто и въ наше время и объясняются исторически. Во-первыхъ, даются ученикамъ иногда такія задачи, которыя псрежили самихъ себя и утеряли смыслъ, пс тому что времена изм?нились; прим?ромъ можетъ служить задача о курьерахъ; теперь уже везд? телеграфы, телефоны, сообщенія по жел?знымъ дорогамъ, и поэтому н?тъ никакой надобности посылать конныхъ курьеровъ, это было 50—100 л?тъ тому назадъ, а сейчас это анахронизмъ. Во-вторыхъ, р?шеніе задачъ никакъ не можетъ освободиться отъ того элемента механичности, который сжился съ ним въ теченіе многихъ сотенъ л?тъ. Прежде всякая школа была главнымъ образомъ школой спеціальной и им?ла ввиду сообщить ученику навыки и ум?нья, пригодные ему для изв?стной отрасли жизненной д?ятельности. Теперь, наоборотъ, школа проникла въ масс народа, сд?лалась общедоступной и должна быть поэтому общеобразовательной, развивающей душевныя силы д?тей и воспитывающей.

Съ этой точки зр?нія не такъ важно количество задачъ, и не такъ важны ихъ отд?лы, какъ важенъ путь ихъ р?шенія. Надо чтобы р?шеніе задачъ основывалось на соображеніи и развивало сообразительность, а не строило свою опору только на привычк? и простомъ запоминаніи.

Все вниманіе составителей сборниковъ должно сосредоточиваться на томъ, чтобы расположить работу строго посл?довательно и систематично, съ переходомъ отъ простого къ сложному и отъ нагляднаго къ отвлеченному, безъ р?зкихъ скачковъ отъ легкаго къ трудному. Если такъ расположить задачи, то ученикъ самъ, своимъ личнымъ мышленіемъ будетъ доходить до р?шенія все бол?е и бол?е сложныхъ задачъ. Въ такомъ случа? учителю не придется на каждомъ шагу наставлять ученика и помогать ему: все д?ло учителя сосредоточится на подбор? матеріала, расположеннаго ц?лесообразно. Методъ самостоятельнаго вывода—идеальный методъ въ математик?, и ему въ ней предстоитъ будущность.

Между т?мъ, въ посл?дніе годы, отчасти подъ вліяніемъ строгихъ экзаменныхъ требованій, вошло въ моду д?леніе ари?метическихъ задачъ на мелкіе типы. Это вредное увлеченіе. Оно ведетъ къ выучк? и встряхиваетъ опять т? порядки, которые стали было затягиваться пылью с?дой старины[9]. Не дробленіе на типы, главнымъ образомъ по вн?шнему виду, но строго постепенный подборъ сослужитъ службу при р?шеніи задачъ, подводить же подъ типы—д?ло ученика, и тотъ, кто снимаетъ съ него эту работу мысли, т?мъ самымъ лишаетъ его значительной части той пользы, какая происте-каетъ отъ занятій математикой.

Если взять десятокъ-другой учебниковъ ари?метики, изданныхъ въ посл?дніе годы на русскомъ язык?, то увидимъ, что вс? они очень похожи другъ на друга. Если просмотр?ть учебники на раз-ыхъ языкахъ за посл?днее стол?тіе, то увидимъ разницу въ матеріал? и въ его объяененіи. Но эта разница сд?лается р?зко-очевидной, если сопоставить учебники древняго времени съ учебниками новаго. О характер? объясненій въ старинное время или, в?рн?е, объ отсутствіи объясненій мы уже упоминали. Но самое содержаніе ари?метики сейчасъ далеко не то, каково оно было прежде. Приведемъ н?сколько подробностей.

Въ ари?метик?, составленной Павломъ Цв?тковымъ (1834 г.), есть отд?лъ объ извлеченіи квадратныхъ и кубическихъ корней. Этотъ отд?лъ исключенъ изъ ари?метики вообще около средины 19-го в?ка. Корни извлекаются у Цв?ткова изъ отвлеченныхъ чиселъ и изъ именованныхъ. Напр., корень квадратный изъ 4 дней 302 час. 369 мин. квадратныхъ составляетъ 2 дня 3 часа 3 мин.; при этомъ вводится квадратный день, въ которомъ 576 квадр. ч. и кв. часъ въ 3600 кв. минутъ — все это несообразности.

До второго десятил?тія 19-го в. вставлялись въ ари?метику логари?мы, и это начали д?лать съ самаго ихъ прим?ненія къ математик?, т. е. съ 17 ст. У Василія Загорскаго (1806 г.) логари?мы подробно объяснены, и къ нимъ приложены таблицы; въ этихъ таблицахъ содержатся логари?мы чиселъ до 10000 съ семью десятичными знаками.

Въ «Начальныхъ основаніяхъ ари?метики», сочиненныхъ Степаномъ Румовскимъ (1760 г.), пом?щены прогрессіи, которыя мы встр?чаемъ у вс?хъ его предшественниковъ. У Магницкаго въ его изв?стной «Ари?метик?, сир?чь наук? числительной», которая «съ разныхъ діалектовъ на славенскій языкъ преведена, и во едино собрана, и на дв? книги разд?лена», вся вторая книга, т. е. вторая половина, содержитъ такіе отд?лы, которые сейчасъ у насъ не признаются ари?метическими и ни въ какомъ случа? не пом?щаются въ учебникахъ ари?метики. Это, во-первыхъ, ари?метика-алгебраика, по нашему сказать алгебра, съ ея нумераціей и д?йствіями и съ извлеченіемъ такихъ мудреныхъ корней, что одно названіе ихъ приводитъ въ недоум?ніе: биквадратъ или зензизензусъ—корень 4-й степени, солидусъ или сурдесолидусъ—5-й степени, квадратокубусъ или зензикубусъ—6-й степени, бисурдесолидусъ или бисолидусъ—7-й степени, триквадратъ или зензизензусъ отъ зенза—8-й степени, бикубусъ, кубокубусъ, сугубый кубусъ—9-й ст.; квадратъ солида, зенсурдесолидъ—10-й ст.; кубосурдесолидъ, терсолидъ—11-й ст., биквадрато-кубусъ — 12-й ст. За этими корнями, которые, впрочемъ, бол?е страшны и обширны своими названіями, ч?мъ процессомъ извлеченія, идетъ ари?метика-логистика или астрономская «како въ градусахъ, минутахъ и секундахъ, и въ прочихъ колесъ с?ченіяхъ д?йство и чинъ ари?метика содержитъ»; зд?сь просто-напросто показывается, какъ д?лать вычисленія съ градусами, минутами и секундами. Потомъ идетъ еще приложеніе, и на этотъ разъ геометрическаго характера «о геометрическихъ черезъ ари?метику д?йствуемыхъ», гд? р?шаются прим?ры на вычисленія площадей и объемовъ, и даже сообщаются св?д?нія изъ тригонометріи. Въ заключеніе идетъ глава «о земномъ разм?реніи и яже къ мореплаванію прилежатъ», тутъ есть таблицы широтъ и долготъ, описаніе в?тровъ и т. п. Какое разнообразіе содержанія! Можно сказать, что ари?метика Магницкаго— это ц?лая энциклопедія; въ ней собраны всевозможные случаи, гд? только можетъ пригодиться вычисленіе: и изъ хозяйетва, и изъ ремеслъ, и изъ гражданской и военной жизни. Сочинитель заботился, чтобы его книга вс?хъ удовлетворила и ни одного вопроса не оставила безъ отв?та, чтобы она всец?ло соотв?тствовала требованіямъ практики.

Эта пестрота и этотъ наборъ всевозможнаго матеріала, который складывается въ одну кучу, на всякій случай, авось пригодится гд?-нибудь въ жизни и хозяйств?, эта пестрота и случайность еще бол?е проскальзываютъ въ старинныхъ сборникахъ XVI—XVII в?ка. Чего-чего только тамъ н?тъ. Какъ Плюшкинъ тащилъ въ свою груду всякій ненужный хламъ и рухлядь, и какъ любитель-коллекціонеръ добываетъ и вставляетъ въ свое собраніе всякія мелочи и подробности, такъ и авторы старинныхъ учебниковъ собирали въ ари?метику все, что хоть сколько-нибудь подходитъ къ ея практическимъ требованіямъ и можетъ дать отв?тъ на какой-нибудь числовой воііросъ. О смысл?, ц?лесообразности и воспитательномъ д?йствіи науки не заботились: лишь бы только она годилась для жизни. Доходило д?ло до такихъ курьезовъ и странностей: «Есть убо челов?къ, яко же пов?даютъ, на глав? им?я 3 швы и на углы составлены; женская же глава им?етъ единъ шовъ, кругомъ обходя главу; да по тому знаменію и въ гроб?хъ знаютъ, кая мужеска, кая-ли женска». «Хошь сыскати тварей обновленіе небу и земл?, морю и зв?здамъ, солнцу и лун?, и индикту». Оказывается, небо поновляется въ 80 л?тъ, а земля въ 40 л?тъ, море въ 60 л?тъ.