x = 5 + d, y = 5 ? d  (5 + d)² + (5 ? d)² = 68 50 + 2d² = 68 d = 3, x = 8, y = 2

Діофантъ занимался также неопред?ленными уравненіями первой и второй степени, но ему не удалось найти полнаго ихъ р?шенія въ ц?лыхъ числахъ; это сд?лали уже Эйлеръ, н?мецкій математикъ 18 в., и французскій математикъ Лагранжъ (1736—1813).

Индусы называли неизв?стныя величины, которыя мы теперь обозначаемъ черезъ х, у, z и т. д., черной величиной, голубой, желтой, зеленой, красной и обозначали ихъ первыми буквами т?хъ словъ, которыя выражаютъ эти цв?та. Индусскіе математики 6—12 в по Р. X. знакомы были, правда, съ греческой ари?метикой и алгеброй, но они далеко опередили грековъ. Они знали ирраціональныя числа, знали, что всякій квадратный корень им?етъ два значенія: положительное и отрицательное, и дошли до мнимыхъ величинъ. Баскара (въ 12 в.) принялся за кубическія уравненія, и вотъ его прим?ръ:

x⁴ + 48x = 12x² + 72

вычтемъ по

12x² + 64 = 12x² + 64

————————————————————————

x³ ? 12x² + 48x ? 64 = 8

(x ? 4)³ = 2³

x ? 4 = 2

x = 6

Вплоть до 18 в?ка индусскіе математики являлись учителями европейскихъ математиковъ и образцами для нихъ, и лишь Лагранжу и Эйлеру удалось двинуть науку дал?е и превзойти индусовъ.

Арабскіе ученые переняли отъ индусовъ начала алгебры и перенесли въ Европу, гд? ею занялись главнымъ образомъ итальянцы.

Лука-де-Бурго (въ 15 ст.) перешелъ къ уравненіямъ 4-й степени и р?шалъ т? изъ нихъ, которыя приводятся къ квадратнымъ. Тарталья и Карданъ (въ 16 ст.) объяснили р?шеніе кубическихъ уравненій, притомъ всякихъ безъ исключенія, а Людовикъ Феррари далъ общую формулу р?шенія уравненій 4-й степени.

Віета (1540—1603) положилъ начало общей ари?метик? т?мъ, что сталъ обозначать буквами не только искомыя количества, но и данныя; до него же буквами обозначались только т? количества, которыя требавалось опред?лить; по способу Віета изв?стныя величины въ уравненіяхъ обозначались согласными буквами латинскаго алфавита, а неизв?стныя—гласными.

За Віетой сл?довалъ англичанинъ Гарріотъ (1560—1621). Онъ нашелъ, что всякое уравненіе высшихъ степеней является произведеніемъ уравненій низшихъ степеней, что между коэффиціентами и корнями уравненія есть опред?ленная зависимость; онъ ввелъ знакъ неравенства и предложилъ писать буквенныхъ множителей рядомъ, безъ всякаго знака; но коэффиціентъ онъ отд?ляетъ отъ буквы точкой и степени обозначаетъ повтореніемъ количества, т. е. вм?сто a³ пишетъ aaa. Французъ Декартъ (1596—1650) положилъ начало аналитической геометріи и ввелъ нын?шнюю форму ц?лыхъ степеней. Голландецъ Жираръ ввелъ скобки, Исаакъ Ньютонъ (1642—1727) — дробныя степени и биномъ, шотландецъ Непиръ (въ 17 ст.) — логари?мы съ натуральнымъ или гиперболическимъ основаніемъ е=2,7182818...

Вскор? посл? него англійскій профессоръ Бриггь (ум. въ 1630) вычислилъ логари?мы при основаніи 10. Такимъ образомъ, получается 7 д?йствій общей ари?метики: сложеніе, вычитаніе, умноженіе, д?леніе, возвышеніе въ степень, извлеченіе корня, логари?мированіе; иные присоединяютъ еще восьмое д?йствіе—нахожденіе числа по логари?му. Теорія чиселъ, т. е. ученіе о свойствахъ чиселъ, была изв?стна въ н?которой степени еще древнимъ грекамъ. Особенное развитіе она получила въ нов?йшее время.

Большая часть трудовъ по исторіи ари?метики принадлежитъ н?мецкой литератур?: н?мецкая ученость особенно занимается этими вопросами. Мы для своей работы воспользовалнсь сл?дующими источниками:

1. M. Sterner. Geschichte der Rechenkunst;. 1891. стр. 533. Это самая лучшая книжка въ своемъ род?, мы ее порекомендовали бы всякому, кто хочетъ узнать исторію ари?метики; она очень доступна, обстоятельна и недорога, изложеніе въ ней чисто-литературное.

2. W. Adam. Geschichte des Rechens und des Rechenunterrichts. Zum Gebrauch an gehobenen und hoheren Lehranstalten, sowie auch bei der Vorberitung auf die Mittelschullehrer und Rektoratsprufung. 1892. стр. 182. Составлена по программ?, изданной для учителей среднихъ учебныхъ заведеній; какъ видно, въ Германіи требуется отъ учителей не только знать науку, но и обладать св?д?ніями по ея исторіи. Книжка Адама невелика, конспективна; хотя она и написана простымъ языкомъ, но изложеніе въ ней суховато: много перечисленій и мало обобщеній.

3. M. Kantor. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik. Zweite Auflage. 1894. Стран. 883+863. Громадная работа по исторіи математики; считается чрезвычайно авторитетйымъ источникомъ, изъ котораго черпаютъ вс? остальные авторы. Канторъ — общепризнанный спеціалистъ по своему предмету.

Изложеніе у него доступное, хотя, по самому характеру книги, содержитъ много подробностей и тонкихъ изсл?дованій. Ц?на не дешевая — бол?е 25 руб.

4. H. Hankel. Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter. 1874. Страницъ 410. Рядъ хорошихъ очерковъ по исторіи математики.

5. G. Freidlein. Die Zahlzeichen und das elementare Rechnen der Griechen und Romer und des christlichen Abendlandes vom 7 bis 13 Jahrhundert. 1869. Стр. 164. Для своихъ отд?ловъ эта книжка хороша; правда, она написана н?сколько спеціально, съ цитатами и мелкими подробностями, но въ общемъ она доступна.

6. P. Treutlein. Das Rechen im 16 Jahrhundert. 1877. Стр. 100. Хорошая картина 16-го в?ка, того самаго в?ка, когда стали обрисовываться основы нашей ари?метики.

7. F. Unger. Die Methodik der praktischen Arithmetik in historischer Entwickelung vom Ausgange des Mittelalters bis auf die Gegenwart. 1888. Стр. 240. Работа Унгера неудобна для того, кто желалъ бы начать съ нея знакомство съ исторіей ари?метики. Унгеръ слишкомъ гоняется за подлинными выписками, даже такими, которыя не представляютъ большого интереса, и слишкомъ окрашиваетъ свои очерки въ колоритъ спеціально н?мецкой школы. У него много зам?чаній относительно методики, однако и ихъ гораздо интересн?е читать по Штернеру.

Изъ французскихъ авторовъ мы могли воспользоваться:

8. G. Libri. Historie des sciences mathematiques en Italie, depuis la reneaissance des lettres jusq'a la findudix-septieme siecle. 1835-1865. Стр. 456+530+444+492. Это довольно старая книжка, и въ ней трудно найти что-нибудь новое, сравнительно съ т?ми пособіями, какія перечислены выше.

На русскомъ язык? пользуются изв?стностью труды профессора Московскаго университета В. В. Бобынина, который съ 1883 года читаетъ лекціи по этому предмету. Мы въ особенности обязаны св?д?ніями сл?дующимъ интереснымъ очеркамъ:

9. В. В. Бобынинъ. Очерки исторіи развитія физико-математическихъ знаній въ Россіи. ХVІІ стол?тіе. 1886 г. Стр. 123.

10. В. В. Бобынинъ. Очерки исторіи донаучнаго періода развитія ари?метики. 1896 г. Стр. 48.

11. В. В. Бобынинъ. Очерки исторіи развитія математическихъ наукъ на Запад?. 1896 г. Стр. 30+129.

Посл? выхода въ св?тъ I изданія, авторъ познакомился еще съ такими трудами:

12. Boyer. Historie des mathematiques.

13. Зутеръ. Исторія математическихъ наукъ. СПБ. 1905. Ц?на 1 р. Перев. съ н?мецкаго П. Федорова.