Сущность фальшиваго правила лучше всего объясняется алгебраически. Возьмемъ одно уравненіе первой степени съ однимъ неизв?стнымъ: ax+b = 0. Примемъ x равнымъ произвольному количеству k₁; подставивъ k₁ вм?сто х, пусть мы получимъ во второй части вм?сто нуля т₁, такъ что ak₁ + b = n₁ т.-е. ошибка оказалась во второй части на n₁. Дадимъ иксу другое произвольное значеніе k₂, и пусть вторая часть обратится въ n₂, такъ-что ошибка второй части уравненія будетъ n₂. Теперь мы получимъ такую систему:

то образуется сл?дующее выраженіе для неизв?стнаго:

Изъ этой формулы выходитъ: n₁x- n₂x= n₁k₂- n₂k₁, или n₁(x-k₂)=n₂(x-k₁) откуда получается пропорція: n₁: n₂=(х-k₁) : (х-k₂), т. е. ошибки неизв?стныхъ пропорціональны ошибкамъ уравненій. Этой пропорціей и устанавливается связь между фальшивымъ правиломъ и способомъ пропорцій.

Фальшивое правило вводилось во вс? учебники ари?метики до начала 19-го в?ка и считалось необходимой ихъ частью и однимі изъ самыхъ важныхъ отд?ловъ. Оно встр?чается, между прочимъ, въ ари?метик? Безу, переведенной на русскій языкъ В. Загорскимъ въ 1806 году. Въ настоящее время это правило совершенно исключено изъ ари?метическаго курса, и его нигд? найти нельзя. Дв? причинь сод?йствовали его исключенію. Во-первыхъ, выводъ его можетъ быті сд?ланъ только алгебраически и, сл?довательно, въ ари?метик? онъ не можетъ быть объясненъ ученикамъ и требуетъ отъ нихъ прямого заучиванія; во вторыхъ, никакой учебникъ не разграничивалъ, какія задачи можно р?шать фальшивымъ правиломъ, и какихъ нельзя имі р?шать; а, между т?мъ, это существенно важно, потому что, еслі прим?нить правило къ тому, къ чему оно неприм?нимо, то выйдетъ конечно, одно печальное недоразум?ніе. На самомъ д?л? это правило можетъ им?ть силу только для т?хъ задачъ, гд? вся задача сводится къ умноженіямъ и д?леніямъ неизв?стнаго.

Правило см?шенія было въ употребленіи, очевидно, очень давно, такъ какъ потребности въ см?шеніи л?карствъ и какихъ - нибудь составовъ, а также въ сплавленіи металловъ им?ли м?сто еще въ древнемъ мір?. Формулы см?шенія были найдены, в?роятно, отчасти путемъ опыта, отчасти алгебраическими выкладками; потомъ он? были перенесены въ ари?метику, запоминались учениками и прим?нялись къ р?шенію задачъ.

Леонардо Фибонначи въ ХIII в. даетъ такіе пріемы, которые надо признать совершенно механическими; и вся забота ?го направлена только къ тому, чтобы расположить данныя числа какъ сл?дуетъ; задачи у него разд?ляются на 2 вида, т?хъ самыхъ, какіе сейчасъ и у насъ: въ первомъ вид? узнается, какого достоинства выйдегъ см?сь, если изв?стно количество см?шиваемыхъ веществъ и ихъ достоинство; въ второмъ вид? надо опред?лить, сколько сл?дуетъ взять каждаго вещества, чтобы получить см?сь такого достоинства, какое требуетса. У Леонардо встр?чаются задачи на см?шеніе н?сколькихъ сортовъ, и есть прим?ры бол?е отвлеченнаго характера, въ такомъ род?: «Стоимость 30, количество 30, стоимость единицы— 3, 2, ? р?шеніе: I:III =1 : 4, II : III = 1 : 2, положимъ на I съ III всего 15 единицъ, изъ нихъ 3 на I, 12 на III; на II съ III кладемъ тоже 15 единицъ, изъ которыхъ 5 на II, и 10 на III; всего тогда получится на I=3, на II=5 и на III =22». Эта задача, какъ видно, неопред?ленная.

Въ 15—16 в?к? задачи на см?шеніе р?шались н?сколько иначе, ч?мъ мы ихъ р?шаемъ; он? приводились къ тройному правилу, и для каждаго неизв?стнаго составлялась отд?льная строка, отд?льная пропорція.

Въ русскихъ учебникахъ XVII в?ка правилу см?шенія соотв?тствовала «статья о нечисти во всякихъ овощахъ и въ товарехъ», въ ней говорилось о см?шеніи чистаго товара съ нечистымъ и о сплав? золота, серебра и м?ди. У Магницкаго статья «третья надесять» въ тройномъ правил?, подъ заглавіемъ «о соединеніи вещей», начинается прямо съ задачи, безъ всякаго предисловія и объясненія: «Н?кій винопродавецъ имяше четыре разныя вины, ихъ же продаяше разною ц?ною, по 10 алтынъ, по 8 алтынъ, по 6 алтынъ и по 5 алтынъ по 2 денги галенокъ, и хощетъ отъ т?хъ разноц?нныхъ винъ бочку наліяти въ 80 галенковъ, чтобы галенокъ былъ ц?ною въ 6 алтынъ 4 денги, и в?дательно есть, колико галенковъ котораго вина вліяти достоитъ во ону бочку, придетъ 16, 8, 16, 40. Зри како изобр?тати:

По толику галенковъ таковыхъ разныхъ винъ въ бочк? оной вина его же ц?на по 20 коп. галенокъ»

Понятно, зач?мъ Магницкій пом?щалъ задачи на см?шеніе, и зач?мъ он? были въ старинныхъ ари?метикахъ: учебникъ считался тогда сборникомъ всевозможныхъ правилъ, пригодныхъ для разныхъ житейскихъ случаевъ, къ нему, какъ къ какому-нибудь справочнику, и обращались за указаніями и искали практическаго отв?та. Теперь же техника и ремёсла, равно какъ и гражданская жизнь, настолько развились и расширились, что нечего и думать сообщить ученику запасъ предписаній на всевозможные житейскіе случаи. Кром? того, см?шеніе прим?няется теперь не настолько часто, чтобы считать его употребительнымъ д?йствіемъ и пріучать къ нему учениковъ и ученицъ изъ разныхъ классовъ общества и изъ разныхъ состояній. Такимъ образомъ, практическое значеніе правила см?шенія можно считать въ настоящее время за нуль, особенно если им?ть ввиду задачи второго рода. Но и образовательное, развивающее его значеніе тоже очень не велико, потому что т? же задачи второго рода, по самой своей сущности, принадлежатъ алгебр?, съ большимъ удобствомъ и пониманіемъ р?шаются въ ней, въ ари?метик? же он? явдяются какимъ-то оторваннымъ кускомъ и потому не могутъ быть проработаны вполн? сознательно. Гораздо лучше было бы и для учениковъ и для науки, если бы задачи второго рода на см?шеніе были отнесены къ алгебр?.

Д?вичье правило. Оригинальное и странное названіе, получившееся оттого, что прежде (впрочемъ бываетъ это и теперь) задачи располагались и назывались не по способамъ ихъ р?шенія, а по вн?шнему виду. Къ д?вичьему правилу относились задачи, въ которыхъ говорилось о д?вицахъ. Правда, вс? он? въ cтарыхъ сборникахъ пріурочивались къ одному типу, именно къ отд?лу неопред?ленныхъ задачъ. Типической задачей можеть служить сл?дующая, заимствованная изъ Адама Ризе, составившаго учебникъ въ XVI ст. «26 персонъ издержали вм?ст? 88 марокъ, при чемъ мужчина издерживалъ по 6 марокъ, женщина по 4 и д?вушка по 2; сколько было мужчинъ, женщинъ и д?вушекъ?» Адамъ Ризе учитъ р?шать такимъ образомъ: пусть, говоритъ онъ, вс? 26 персонъ были бы д?вушки, тогда он? издержали бы 2.26=52 марки, сл?довательно, остается 88 — 52 = 36 марокъ. Разложимъ теперь 36 на такія два слагаемыхъ, чтобы одно состояло изъ четверокъ, другое изъ паръ, наприм?ръ, 8 четверокъ и + 2 пары, или 5 четверокъ + 8 паръ, или еще 2 четверки + 14 паръ; такое расположеніе удобно т?мъ, что 32 марки въ первомъ случа? мы отнесемъ на долю мужчинъ и 4 марки на долю женщинъ и расчислимъ такъ: мужчина тратитъ больше д?вушки на 4 марки, ихъ можно принять всего 8 челов?къ, такъ какъ 32:4 = 8; женщина тратитъ больше д?вушки на 2 марки, и женщинъ можно полагать 2, потому что 4: 2=2; сл?довательно, получается въ отв?т? 8 мужчинъ, которые заплатятъ вм?ст? 48 марокъ, 2 женщины—8 марокъ и 16 д?вушекъ 32 марки, всего 88 марокъ. Другой рядъ отв?товъ можно бы получить, съ помощью этого же способа, такой: 5 мужч., 8 женщ. и 13 д?вушекъ; и много другихъ р?шеній, такъ какъ эта задача неопред?ленная.

Первая неопред?ленная задача на латинскомъ язык? изъ т?хъ, которыя дошли до насъ, содержится въ сборник? Алькуина (въ VIII ст. по Р. X.) и выражается такъ: «100 шеффелей разд?лить между мужчинами, женщинами и д?тьми и дать при этомъ мужчин? по 3 шеффеля, женщин? по 2 и ребенку по ? шефф.» Р?шеніемъ этой задачи могло бы быть, напр., 24, 40 и 36; у Алькуина дано 11, 15, 74. Кром? названія «д?вичье», это правило им?ло иногда титулъ «сл?пого» правила и опять по той же самой причин?, именно, что въ неопред?лешшхъ задачахъ этого рода упоминалось о сл?пцахъ. Кстати скажемъ, что были и другія курьезныя правила, въ род? правила «крокодиловъ», правила «роговъ» и т. п., и назывались они по той своей особенности, что въ задачахъ, которыя являлись характеристичными, упоминалось про крокодидовъ, рога и т. д.