Каждую черную рыбу, в соответствии с геометрией Лобачевского, следует считать имеющей такой же размер и такую же форму, что и любая другая черная рыба. Для белых рыб — аналогично. Геометрия Лобачевского не может быть абсолютно точно воспроизведена на евклидовой плоскости, отсюда — кажущееся скопление рыб вблизи круговой границы. Представьте себе, что вы находитесь внутри мозаики где-то у этой окружности. Тогда геометрия Лобачевского должна для вас выглядеть точно такой же, как если бы находились в центре или в каком-то другом месте мозаики. То, что выглядит как «граница» мозаики в этом евклидовом представлении, в действительности находится «на бесконечности» в геометрии Лобачевского. Граничную окружность вообще не следует рассматривать как часть пространства Лобачевского — равно как и никакую часть евклидовой области, лежащую за ее пределами. (Это остроумное представление плоскости Лобачевского принадлежит Пуанкаре. Его достоинство заключается в том, что форма очень маленьких фигур при этом не искажается — изменяются только их размеры.) «Прямыми» в геометрии Лобачевского (вдоль которых расположены некоторые из рыб на мозаике Эшера) служат окружности, пересекающие круговую границу под прямыми углами.

Вполне может быть, что геометрия Лобачевского действительно выполняется для нашего мира в космологических масштабах (см. главу 7, «Космология и Большой взрыв»). Но коэффициент пропорциональности между дефицитом углов и площадью треугольника в этом случае чрезвычайно мал, а для обычных масштабов евклидова геометрия дает превосходное приближение геометрии Лобачевского. В самом деле, как мы увидим далее в этой главе, общая теория относительности Эйнштейна говорит нам о том, что геометрия нашего мира действительно отклоняется от евклидовой геометрии (хотя и «нерегулярно», т. е. более сложно, чем геометрия Лобачевского) на масштабах, значительно уступающих космологическим, хотя по обычным меркам нашей повседневной жизни эти отклонения всеравно будут ничтожно малы.

Тот факт, что евклидова геометрия, казалось бы, столь точно отражает структуру «пространства» нашего мира, вводил нас (и наших предшественников!) в заблуждение, заставляя думать, будто евклидова геометрия является логической необходимостью или будто мы обладаем внутренней интуитивной способностью априори догадаться, что евклидова геометрия должна быть применима к миру, в котором мы живем. (Так утверждал даже великий философ Иммануил Кант.) Реальный разрыв с евклидовой геометрией наступил только с созданием Эйнштейном общей теории относительности, появившейся на свет много лет спустя. И тогда стало понятно, что евклидова геометрия вовсе не является логической необходимостью, и что ее весьма точное (хотя и далеко не абсолютное) соответствие структуре нашего физического пространства — не более, чем результат эмпирических наблюдений! Евклидова геометрия действительно была (ПРЕВОСХОДНОЙ) физической теорией. И это в дополнение к тому, что евклидова геометрия — изящный и логически непротиворечивый раздел чистой математики.

Здесь угадывается определенное сходство с философской концепцией Платона (изложенной примерно в 360 году до н. э. — почти за пятьдесят лет до появления Начал Евклида — знаменитого сочинения по геометрии). С точки зрения Платона объекты чистой геометрии — прямые, окружности, треугольники, плоскости и т. п. — могут быть лишь приблизительно реализованы в реальном мире физических вещей. Эти математически точные объекты чистой геометрии обитают в другом мире — платоновском идеальном мире математических понятий. Платоновский мир состоит не из осязаемых вещей, а из «математических объектов». Этот мир доступен нашему восприятию не обычным физическим путем, а посредством интеллекта. Человеческий разум контактирует с миром Платона всякий раз, когда открывает математическую истину, постигая ее с помощью математических рассуждений и интуитивных догадок. Идеальный мир Платона рассматривался как отличный от нашего материального мира — более совершенный, но при этом столь же реальный. (Вспомним сказанное в главах 3 и 4, с. 89, 101 о платоновской реальности математических понятий.) Таким образом, хотя идеальные объекты чистой евклидовой геометрии можно исследовать с помощью мысли, логически выводя при этом их свойства — отсюда вовсе не следует, что для «несовершенного» физического мира, воспринимаемого нашими органами чувств, неукоснительное следование этому идеалу является необходимостью. Располагая в свое время достаточно скудными данными, Платон, по-видимому благодаря какому-то чудесному озарению, смог предугадать, что, с одной стороны, математику следует изучать и понимать ради самой математики, и что нельзя требовать полного и точного соответствия математических объектов объектам физического опыта; а с другой — что функционирование реального внешнего мира в конечном счете может быть понято только в терминах точной математики, т. е. в терминах платоновского идеального мира, «доступного через интеллект»!

Платоном в Афинах была основана Академия, в задачи которой входило дальнейшее развития таких идей. Среди элиты, выросшей из числа членов этой Академии, был и необычайно влиятельный и знаменитый философ Аристотель. Но здесь нас будет интересовать другой человек, принадлежащий к платоновской Академии — математик и астроном Евдокс, несколько менее известный, чем Аристотель, но, по моему глубокому убеждению, гораздо более проницательный ученый, один из величайших мыслителей античности.

В евклидовой геометрии есть одна очень важная и тонкая составляющая, которая, на самом деле, является очень существенной и которую сегодня мы вряд ли вообще отнесли бы к геометрии! (Математики охотнее назвали бы это «анализом», чем «геометрией».) Речь идет о введении действительных чисел. Евклидова геометрия использует длины и углы. Чтобы иметь возможность использовать такую геометрию, нам необходимо понимать, какого рода «числа» нужны для описания этих самых длин и углов. И здесь новая идея была предложена Евдоксом (ок. 408–335 гг. до н. э.) в IV веке до н. э.[104]) Греческая геометрия переживала «кризис» из-за открытия пифагорейцами таких чисел, как √2 (последнее необходимо для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата через длины его сторон), не представимых в виде дроби, т. е. отношения двух целых чисел. Для древних греков было важно иметь возможность формулировать их геометрические меры (отношения) в терминах (отношений) целых чисел, чтобы оперировать геометрическими величинами в соответствии с правилам арифметики. В основном, идея Евдокса заключалась в том, чтобы дать метод описания отношений длин (т. е. действительных чисел!) в терминах целых чисел. Евдоксу удалось сформулировать в рамках операций над целыми числами такие критерии, которые позволяли решать, является ли одно из отношений длин больше другого или их можно считать в точности равными.

В общих чертах идея Евдокса сводится к следующему: если a, b, c и d — четыре длины, то критерием, позволяющим утверждать, что отношение а/b больше отношения c/d, будет существование таких целых чисел М и N, что длина а, сложенная сама с собой N раз, больше длины b, сложенной сама с собой М раз, — тогда как длина d, сложенная сама с собой М раз, больше длины с, прибавленной к самой себе N раз[105]). Соответствующий критерий можно аналогичным образом использовать для установления противоположного неравенства а/b < c/d. А искомый критерий равенства а/b = c/d просто отвечает случаю, когда ни один из двух критериев (а/b > c/d и а/b < c/d) не может быть выполнен!