(Для нормировки оба члена можно было бы умножить на общий множитель 1/√2.) Это состояние правильно изменяет знак при перестановке первой частицы со второй, но теперь состояния |0)|1) и |0)|1) уже не независимы. Вместо этих двух состояний нам теперь разрешается иметь только одно состояние! Всего существует

1/2 (10 х 9) = 45

состояний такого рода — по одному на каждую неупорядоченную пару различных состояний из |0), |1)…., |9). Таким образом, для задания двухфермионного состояния в нашей системе необходимы 45 комплексных чисел. В случае трех фермионов нам требуются 3 различные позиции, и базисные состояния выглядят следующим образом

Всего таких состояний (10 х 9 х 8)/6 = 120, поэтому для задания трехфермионного состояния необходимы 120 комплексных чисел.

Для пары тождественных бозонов независимые базисные состояния бывают двоякого рода, а именно такие, как

|0)|1) + |1)|0),

и такие, как

|0)|0)

(которое теперь разрешается), что дает всего 10 х 11/2 = 55 базисных состояний. Таким образом, для задания двухбозонных состояний требуется 55 комплексных чисел. Для трех бозонов существуют базисные состояния трех различных типов и для задания каждого из них требуются (10 х 11 х 12)/6 = 220 комплексных чисел, и так далее.

Разумеется, для того, чтобы донести до читателя основные идеи, я рассматривал упрощенную ситуацию. Более реалистическое описание потребовало бы целый континуум состояний с определенным положением, но существенные идеи остаются такими же. Еще одно небольшое осложнение связано с наличием спина. Для каждой частицы со спином 1/2 (такая частица с необходимостью является фермионом) в каждом положении существовало бы 2 возможных состояния. Обозначим их «↑» (спин «вверх») и «↓» (спин «вниз»). Тогда в рассматриваемой нами упрощенной ситуации мы получаем не 10, а 20 базисных состояний

а в остальном рассуждать следует так же, как было сделано только что (таким образом, для двух таких фермионов необходимо взять (20 х 19)/2 = 190 чисел, для трех — (20 х 19 х 18)/6 = 1140 и т. д.).

В главе 1 я упоминал о том, что согласно современной теории, если частицу из тела человека поменять местами с аналогичной частицей из кирпича в стене его жилища, то ничего не произойдет. Если бы эта частица была бозоном, то, как мы знаем, состояние |ψ) действительно осталось бы совершенно не изменившимся. Если бы эта частица была фермионом, то состояние |ψ) в результате обмена частиц перешло бы в — |ψ) физически тождественное состоянию |ψ). (В случае необходимости изменение знака можно устранить с помощью простой меры предосторожности, а именно: при замене одной частицы на другую, повернуть одну из двух частиц на 360° вокруг ее оси. Напомним, что фермионы изменяют знак при таком повороте, а состояние бозонов остается неизменным!) Современная теория (существующая примерно с 1926 года) действительно сообщает нам нечто глубокое относительно индивидуального тождества мельчайших «кирпичиков» физической материи. Строго говоря, мы не можем говорить об «этом конкретном электроне» или об «индивидуальном фотоне». Утверждать, что «первый электрон находится здесь, а второй — там», означает утверждать, что состояние имеет вид |0)|1), что, как мы уже знаем, недопустимо, если речь идет о фермионном состоянии! Однако вполне допустимо утверждение о том, что «существует пара электронов, один из которых находится здесь, а другой — там». Вполне «законно» говорить о множестве всех электронов или всех протонов, или всех фотонов (хотя даже такое утверждение игнорирует взаимодействия между различными типами частиц). Индивидуальные электроны являются неким приближением такой полной картине, как, впрочем, и индивидуальные протоны или индивидуальные фотоны. Для большинства целей этого приближения вполне достаточно, но существуют различные ситуации, при которых оно не срабатывает — убедительными контрпримерами могут служить сверхпроводимость, сверхтекучесть и излучение лазера.

Картина физического мира, которую представила нам квантовая механика, — совсем не то, к чему мы привыкли в классической физике. Но придержите вашу шляпу — в квантовом мире есть гораздо более странные вещи!

Как упоминалось в начале этой главы, некоторые из идей Альберта Эйнштейна сыграли фундаментальную роль в развитии квантовой теории. Напомним, что именно Эйнштейн впервые ввел еще в 1905 году понятие «фотон» — квант электромагнитного поля — из этого понятия впоследствии выросла идея дуализма волна-частица. (Эйнштейну отчасти принадлежит и понятие «бозон», как и многие другие идеи, сыгравшие центральную роль в квантовой теории поля.) Тем не менее Эйнштейн так и не смог принять теорию, в которую впоследствии развились эти идеи, полагая, что такая теория не может быть описанием физического мира. Хорошо известно отвращение, которое Эйнштейн питал к вероятностному аспекту квантовой теории, и которое он в сжатой форме сформулировал в одном из писем к Максу Борну в 1926 году (письмо цитируется в книге: Пайс [1982], с. 443):

Однако, как оказывается, еще больше, чем такой физический индетерминизм, Эйнштейна беспокоило кажущееся отсутствие объективности в том, каким образом должна описываться квантовая теория. В моем изложении квантовой теории я пытался подчеркнуть, что описание мира, даваемое этой теорией, в действительности вполне объективно, хотя и кажется часто весьма странным и противоречащим интуиции. С другой стороны, Бор, по-видимому, считал, что квантовое состояние системы (между измерениями) не обладает настоящей физической реальностью, а действует лишь как свод «знаний некоторого субъекта» о рассматриваемой системе. Но разве различные наблюдатели не могут обладать различными знаниями о системе, тогда волновая функция должна была бы быть чем-то существенно субъективным, или «целиком существовать в уме физика»? Наша замечательно точная физическая картина мира, создававшаяся на протяжении многих столетий, не должна испариться целиком; поэтому Бору пришлось рассматривать мир на классическом уровне как действительно обладающий объективной реальностью.

Но в состояниях на квантовом уровне, которые, казалось бы, лежат в основе всего, никакой «реальности» он не усматривал.

Такая картина была неприемлема для Эйнштейна, который был глубоко убежден в том, что объективный физический мир должен действительно существовать, даже на микроскопических масштабах квантовых явлений. В своих многочисленных дискуссиях с Бором Эйнштейн пытался (но неудачно) показать, что квантовой картине присущи внутренние противоречия, и что за квантовой теорией должна стоять какая-то более глубокая структура, возможно, более похожая на картины классической физики. Возможно, вероятностное поведение квантовых систем является проявлением статистических эффектов более малых компонентов, или частей, системы, о которых мы не располагаем непосредственным знанием. Последователи Эйнштейна, в особенности Давид Бом, развили высказанную им идею о «скрытых переменных», согласно которой должна существовать некоторая вполне определенная реальность, но параметры, точно определяющие систему, не доступны нам непосредственно, и квантовые вероятности возникают из-за того, что значения этих параметров неизвестны до измерения.